Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 676827
i

Точка О  — центр опи­сан­ной окруж­но­сти около ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка АВС. На луче АО за точ­кой О вы­бра­на точка Р так, что \angle BAC плюс \angle APC = 90 гра­ду­сов.

а)  До­ка­жи­те, что \angle OBC = \angle OPC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ОРС, если BC  =  72, ко­си­нус \angle BAC = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть \angle BAC = альфа , тогда \angle BOC = 2 альфа как цен­траль­ный угол. От­рез­ки BO и OC равны как ра­ди­у­сы. Сле­до­ва­тель­но, в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке OBC:

\angle OBC = \angle OCB = дробь: чис­ли­тель: 180 гра­ду­сов минус 2 альфа , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 90 гра­ду­сов минус альфа = \angle APC.

б)  По тео­ре­ме си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABC по­лу­ча­ем:

2 OC = дробь: чис­ли­тель: BC, зна­ме­на­тель: синус альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 72, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те альфа конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 72, зна­ме­на­тель: \tfrac45 конец дроби = 90,

то есть OC  =  45. По тео­ре­ме си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке OPC на­хо­дим:

2R = дробь: чис­ли­тель: OC, зна­ме­на­тель: синус \angle OPC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 45, зна­ме­на­тель: синус левая круг­лая скоб­ка 90 гра­ду­сов минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 45, зна­ме­на­тель: ко­си­нус альфа конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 45, зна­ме­на­тель: \tfrac35 конец дроби = 75,

от­ку­да сле­ду­ет, что R  =  37,5.

 

Ответ: б)  37,5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 676808: 676827 Все

Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}, Тео­ре­ма си­ну­сов
Классификатор планиметрии: Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг че­ты­рех­уголь­ни­ка
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026