Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. Под­хо­дят числа

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть плос­кость пе­ре­се­ка­ет ребро AS в точке P, тогда от­ре­зок PN па­рал­ле­лен ребру AB  — в про­тив­ном слу­чае плос­кость и ребро AB имели бы общие точки. Пусть плос­кость пе­ре­се­ка­ет ребро BC в точке Q, от­ку­да ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что от­ре­зок EQ па­рал­ле­лен ребру AB.

Тре­уголь­ни­ки SPN и CEQ  — рав­но­бед­рен­ные с углом 60° при вер­ши­не, то есть рав­но­сто­рон­ние, зна­чит, AE  =  BQ и AP  =  BN. Тре­уголь­ни­ки APE и BNQ равны по трем сто­ро­нам, PE  =  NQ. Учи­ты­вая, что и они па­рал­лель­ны, по­лу­ча­ем, что EPNQ  — рав­но­бо­кая тра­пе­ция.

б)  Пусть h  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны S. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

Зна­чит, где h₁  — вы­со­та пи­ра­ми­ды PAEBQ, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны P. Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния AEQB:

Вы­чис­лим объем пи­ра­ми­ды PAEQB:

Пусть h₂  — вы­со­та пи­ра­ми­ды SABC, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны C. Зна­чит, где h₃  — вы­со­та пи­ра­ми­ды QNBP, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны Q. Най­дем пло­щадь ос­но­ва­ния PBN: Те­перь можно вы­чис­лить объем QNBP:

Итак,

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть S  — сумма, ко­то­рую пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит, В июне каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же ве­ли­чи­ну мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года, по­это­му сумма ос­нов­но­го долга умень­ша­ет­ся еже­год­но на 0,1S. Еже­ме­сяч­ный пла­теж в таком слу­чае со­сто­ит из части ос­нов­но­го долга и про­цен­тов, ко­то­рые на­чис­ля­ют­ся на оста­ток ос­нов­но­го долга. В 2033 году пла­теж будет равен а по­след­няя вы­пла­та, ко­то­рая будет про­из­ве­де­на в 2038 году, будет равна Най­дем раз­ность между по­след­ней вы­пла­той и вы­пла­той 2033 года:

Под­став­ляя зна­че­ния S  =  1500, по­лу­ча­ем:

Ответ: 171 000 руб­лей.

Ре­ше­ние. а)  Пусть тогда Кроме того,

Тре­уголь­ник ABK рав­но­бед­рен­ный по свой­ству бис­сек­три­сы па­рал­ле­ло­грам­ма, AB  =  BK  =  CD, тре­уголь­ник CKA рав­но­бед­рен­ный по при­зна­ку, KC  =  KA. равен как вер­ти­каль­ный, а и равны как на­крест ле­жа­щие при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых се­ку­щей, тогда равны и и Сле­до­ва­тель­но, по­доб­ны тре­уголь­ни­ки ABK и PCK по трем углам, а по­то­му тре­уголь­ник PCK рав­но­бед­рен­ный. За­пи­шем про­пор­цию:

от­ку­да по­лу­ча­ем:

б)  Пусть AB  =  3x, BC  =  8x, тогда BK  =  3x, KC  =  PC  =  AK  =  5x. По тео­ре­ме ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABK:

Далее в тре­уголь­ни­ке ABC:

то есть Тре­уголь­ни­ки ABK и ADP по­доб­ны по трем углам, по­это­му от­ку­да

и тогда

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. а)  Да. Пусть в пер­вой стро­ке на­пи­са­ны пять раз­лич­ных про­стых чисел (на­при­мер, 2, 3, 5, 7, 11). Наи­мень­шее общее крат­ное любых двух из них  — это их про­из­ве­де­ние, и все такие про­из­ве­де­ния раз­лич­ны.

б)  Да. Возь­мем 20 про­стых чисел и вы­пи­шем в первую стро­ку про­из­ве­де­ния 19 из них. Оче­вид­но, наи­мень­шее общее крат­ное любых двух таких про­из­ве­де­ний  — это про­из­ве­де­ние всех 20 чисел.

в)  За­ме­тим, что если наи­мень­шее общее крат­ное двух чисел это сте­пень про­сто­го числа, то одно из чисел сов­па­да­ет с ним. В самом деле, пусть HOK(a, b)  =  p^k, тогда p^k крат­но и a и b, зна­чит, a  =  p^x, b  =  p^y, при­чем Если то

по­это­му x  =  k или y  =  k, от­ку­да HOK(a, b)  =  a или HOK(a, b)  =  b. Зна­чит, все упо­мя­ну­тые числа есть и в пер­вой стро­ке, и их уже 9 + 7  =  16. При этом среди них нет пары чисел, HOK ко­то­рых равен 2², по­это­му 16 чисел тоже не­до­ста­точ­но. Если до­ба­вить к ним число 1, то любое ука­зан­ное число по­лу­чит­ся, на­при­мер как HOK(1, a)  =  a.

Ответ: а)  да; б)  да; в)  17.