В параллелограмме ABCD биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке K, а продолжение стороны DC — в точке P; диагональ AC является биссектрисой угла KAD.
а) Докажите, что 
б) Найдите AC : AP, если AB : BC = 3 : 8.
а) Пусть 
тогда 
Кроме того,
Треугольник ABK равнобедренный по свойству биссектрисы параллелограмма, AB = BK = CD, треугольник CKA равнобедренный по признаку, KC = KA. 
равен 
как вертикальный, а 
и 
равны как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых секущей, тогда равны и 
и 
Следовательно, подобны треугольники ABK и PCK по трем углам, а потому треугольник PCK равнобедренный. Запишем пропорцию:
откуда получаем:
б) Пусть AB = 3x, BC = 8x, тогда BK = 3x, KC = PC = AK = 5x. По теореме косинусов в треугольнике ABK:
Далее в треугольнике ABC:
то есть 
Треугольники ABK и ADP подобны по трем углам, поэтому 
откуда
и тогда
Ответ: 