Ре­ше­ние. а)  При­ме­ним фор­му­лу при­ве­де­ния и вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Най­дем:

Ответ: а)   б)  

Ре­ше­ние. а)  Плос­кость KLMC пе­ре­се­ка­ет плос­ко­сти ос­но­ва­ний по па­рал­лель­ным пря­мым, по­это­му пря­мые LM и KC  — ос­но­ва­ния тра­пе­ции. Пусть пря­мые KL и MC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P. От­ре­зок KL лежит в плос­ко­сти грани AA₁BB₁, по­это­му точка P может ле­жать толь­ко на пря­мой пе­ре­се­че­ния этих гра­ней, то есть на пря­мой BB₁. Далее зна­чит, пря­мая LM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка KPC, то есть точка M  — се­ре­ди­на от­рез­ка PC. Тогда равны тре­уголь­ни­ки PB₁M и CC₁M, а от­рез­ки B₁M и MC₁ равны как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты.

б)  Пло­щадь тра­пе­ции равна где от­ре­зок LH  — вы­со­та тра­пе­ции. Имеем:

Тре­уголь­ник PKC  — рав­но­бед­рен­ный, по­то­му что зна­чит, равны тре­уголь­ни­ки PBK и PBC, а тогда BK  =  BC и, ана­ло­гич­но, Пусть точка O  — се­ре­ди­на от­рез­ка KC, тогда от­ре­зок BO  — ме­ди­а­на и вы­со­та пря­мо­уголь­но­го рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка BKC, от­ку­да сле­ду­ет Угол POB равен углу между плос­ко­стя­ми KLM и ABC,

то есть ис­ко­мый угол равен 45°.

Ответ: б)  45°.

Ре­ше­ние. Пусть тогда не­ра­вен­ство при­мет вид:

При по­лу­чим: от­ку­да

При по­лу­чим: от­ку­да

При по­лу­чим: от­ку­да

Ре­ше­ние ис­ход­но­го не­ра­вен­ства:

Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим за p ве­ли­чи­ну 1 + 0,01r, на ко­то­рый банк каж­дый год уве­ли­чи­ва­ет раз­мер долга. Тогда после пер­во­го года долг будет равен 300000p − 260000. После на­чис­ле­ния про­цен­тов долг ста­нет (300000p − 260000)p и это равно вто­ро­му пла­те­жу. По­лу­ча­ем урав­не­ние:

Вто­рой ко­рень не удо­вле­тво­ря­ет усло­вию за­да­чи. Таким об­ра­зом,

Ответ: 30.

Ре­ше­ние. а)  За­ме­тим, что зна­чит, по об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра. Тогда Сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ABE и ECK по­доб­ны по двум углам. Из по­до­бия имеем:

б)  Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия тре­уголь­ни­ков ABE и ECK равен 3. Пусть AB  =  3x, BE  =  3y, EC  =  x, CK  =  y. Из ра­вен­ства сто­рон квад­ра­та по­лу­ча­ем:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABE по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Так как че­ты­рех­уголь­ник ABCK  — пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция, еe пло­щадь можно за­пи­сать так:

Ответ: б) 

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем вто­рое урав­не­ние си­сте­мы:

Под­ста­вим най­ден­ные ре­ше­ния в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы.

Если x  =  2, то

При ре­ше­ни­я­ми си­сте­мы яв­ля­ют­ся пары чисел: и ко­то­рые сов­па­да­ют при a  =  2.

Если x  =  –y, то

При ре­ше­ни­я­ми си­сте­мы яв­ля­ют­ся пары чисел: и ко­то­рые сов­па­да­ют при a  =  0.

Таким об­ра­зом, си­сте­ма имеет не более четырёх ре­ше­ний. Чтобы ре­ше­ний было ровно че­ты­ре, не­об­хо­ди­мо, чтобы ре­ше­ни­ем си­сте­мы не яв­ля­лась пара чисел то есть долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие Зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно 4 раз­лич­ных ре­ше­ния при или

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть k  — число по­се­ти­те­лей, про­го­ло­со­вав­ших за фут­бо­ли­ста. За­ме­тим, что рей­тинг фут­бо­ли­ста будет равен 38, если доля го­ло­сов, от­дан­ных за него, лежит в пре­де­лах от 37,5% до 38,5%. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем двой­ное не­ра­вен­ство:

Число k  — целое, сле­до­ва­тель­но, оно не может ле­жать в по­лу­чен­ном ин­тер­ва­ле.

б)  Пусть число про­го­ло­со­вав­ших равно 999. Из них за пер­во­го фут­бо­ли­ста  — 332 че­ло­ве­ка, за вто­ро­го  — 333, за тре­тье­го  — 334. Тогда рей­тин­ги каж­до­го из них равны 33%.

в)  Пусть k  — число го­ло­сов, от­дан­ных за фут­бо­ли­ста, вклю­чая Васин голос, n  — общее число го­ло­сов. За­ме­тим, что после того как Вася отдал свой голос за дан­но­го фут­бо­ли­ста, доля го­ло­сов, от­дан­ных за этого фут­бо­ли­ста уве­ли­чи­лась, а рей­тинг нет, по­лу­ча­ем:

Пред­став­ляя в виде си­сте­мы двух не­ра­венств по­лу­чим:

Так как n  — целое, то

Учи­ты­вая, что долж­ны вы­пол­нять­ся все не­ра­вен­ства си­сте­мы, по­лу­чим:

Так как k  — целое, то

Тогда из не­ра­вен­ства по­лу­ча­ем:

Сле­до­ва­тель­но,

При усло­вие за­да­чи вы­пол­не­но. Зна­чит, ми­ни­маль­ное число про­го­ло­со­вав­ших при усло­ви­ях, дан­ных в за­да­че равно 110.

Ответ: а) нет, б) да, в) 110.

При­ме­ча­ние.

Дру­гое ре­ше­ние при­ве­де­но в за­да­нии 505497.