Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)  Вы­бор­ку кор­ней про­из­ве­дем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Оче­вид­но, цен­тры шаров рав­но­уда­ле­ны от гра­ней дву­гран­но­го угла, по­это­му лежат в его бис­сек­то­ре. По­стро­им тогда пер­пен­ди­ку­ля­ры к ребру угла из одной точки в наших плос­ко­стях, а в плос­ко­сти, со­дер­жа­щей эти пер­пен­ди­ку­ля­ры, по­стро­им бис­сек­три­су ли­ней­но­го угла. Тогда плос­кость, со­дер­жа­щая ее и ребро угла  — ис­ко­мая.

б)  Обо­зна­чим цен­тры сфер за и O, их про­ек­ции на ребро угла  — за и A, точку пе­ре­се­че­ния и   — за Тогда тре­уголь­ник   — пря­мо­уголь­ный с углом по­это­му Пусть ра­ди­ус мень­шей сферы равен r, тогда С дру­гой сто­ро­ны, и от­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к си­сте­ме не­ра­венств  — след­ствию, далее  — к рав­но­силь­ным си­сте­мам.

Оста­лось про­ве­рить, что при

Дей­стви­тель­но, при При этом сле­до­ва­тель­но,

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть   — ра­ди­ус за­дан­ной окруж­но­сти.

Из вер­шин В и С тра­пе­ции про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ля­ры к AD. Их ос­но­ва­ния обо­зна­чим Е и F со­от­вет­ствен­но. Ясно, что BE = CF = 2R; Так как около окруж­но­сти можно опи­сать че­ты­рех­уголь­ник в том и толь­ко в том слу­чае, если суммы про­ти­во­ле­жа­щих его сто­рон равны, то сумма ос­но­ва­ний тра­пе­ции будет равна сумме ее бо­ко­вых сто­рон, т. е. AD + BC = a + b.

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Так как тра­пе­ция пря­мо­уголь­ная, то при

По усло­вию зна­чит,

Тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

Пра­вая часть не­от­ри­ца­тель­на, левая  — не­по­ло­жи­тель­на. По­это­му они могут быть равны толь­ко если Одним под­хо­дя­щим зна­че­ни­ем в любом слу­чае будет Дру­гих по усло­вию быть не долж­но. То есть если то при всех целых не­ну­ле­вых k. То есть То есть   — ир­ра­ци­о­наль­ное число.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Ясно, что после чет­но­го числа прыж­ков, ля­гуш­ка может на­хо­дить­ся толь­ко в вер­ши­нах A, C или E. Обо­зна­чим через число путей длины ве­ду­щих из A в A, C и E со­от­вет­ствен­но. В силу сим­мет­рии Легко ви­деть, что вы­пол­ня­ют­ся ра­вен­ства (можно за два шага пе­рей­ти из A в C, или за два шага пе­рей­ти из Е, или схо­дить С-B-C или С-D-C), (ана­ло­гич­но). От­сю­да Из на­чаль­ных усло­вий По ин­дук­ции легко по­ка­зать, что

б)  Со­хра­ним обо­зна­че­ние c_k из пунк­та а). Обо­зна­чим через b_k число путей длины ве­ду­щих из A в B. Тогда (за два прыж­ка можно двумя спо­со­ба­ми вер­нуть­ся из B в B и одним спо­со­бом по­пасть из B в F). Но зна­чит, при

По-преж­не­му, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: а) (n обя­за­тель­но чет­ное); б) (n обя­за­тель­но чет­ное).

Ре­ше­ние. Пусть сумма кре­ди­та со­став­ля­ет S у. е., а про­цент­ная став­ка по кре­ди­ту К концу пер­во­го года сумма долга фер­ме­ра в банк с уче­том на­чис­лен­ных про­цен­тов со­ста­ви­ла у. е.

После воз­вра­ще­ния банку части от суммы долга долг фер­ме­ра на сле­ду­ю­щий год со­ста­вил у. е.

На эту сумму в сле­ду­ю­щем году вновь на­чис­ле­ны про­цен­ты. Сумма долга фер­ме­ра к концу вто­ро­го года по­га­ше­ния кре­ди­та с уче­том про­цент­ной став­ки со­ста­ви­ла у. е. По усло­вию за­да­чи эта сумма равна у. е.

Решим урав­не­ние на мно­же­стве по­ло­жи­тель­ных чисел.

Ответ: 120%.