Ре­ше­ние. а)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

б)  Отбор кор­ней сде­ла­ем с по­мо­щью еди­нич­ной окруж­но­сти.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Про­ве­дем диа­го­на­ли ос­но­ва­ния, их пе­ре­се­че­ние обо­зна­чим H.

Про­ве­дем вы­со­ту PH пи­ра­ми­ды.

По­стро­им по­сле­до­ва­тель­но:

1)  Точку

2)  От­ре­зок   — точка пе­ре­се­че­ния AN и

3)  

4)  От­рез­ки

Фи­гу­ра AMNL  — ис­ко­мое се­че­ние. До­ка­жем это.

Во-пер­вых, плос­кость (AMN)  — обо­зна­чим ее   — про­хо­дит через две пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся пря­мые AN и ML, ле­жа­щие на плос­ко­сти сле­до­ва­тель­но, такая плос­кость един­ствен­на.

Во-вто­рых: ясно, что От­сю­да:   — рав­но­сто­рон­ний. В нем AN  — ме­ди­а­на (по по­стро­е­нию), сле­до­ва­тель­но, и его вы­со­та, то есть

CH  — про­ек­ция на­клон­ной PC на ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды, (по свой­ству квад­ра­та), в таком слу­чае по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах По­сколь­ку (по по­стро­е­нию), Таким об­ра­зом, ока­за­лось, что пря­мая PC пер­пен­ди­ку­ляр­на к двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым AN и ML, ле­жа­щим на плос­ко­сти Зна­чит,   — по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти.

б)  Точка О  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан AN и PH тре­уголь­ни­ка APC, от­ку­да:

Из па­рал­лель­но­сти ML и BD сле­ду­ет: Зна­чит, За­ме­тим, те­перь, что тре­уголь­ни­ки ALM и MLN  — рав­но­бед­рен­ные, сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. а)  Решим не­ра­вен­ство ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции.

Огра­ни­че­ния на x оче­вид­ны: Для таких х:

Но на сле­до­ва­тель­но, на

От­сю­да вывод: ис­ко­мы­ми зна­че­ни­я­ми пе­ре­мен­ной х яв­ля­ют­ся эле­мен­ты мно­же­ства

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  S(ABE) = S(ACE), так как тре­уголь­ни­ки ABE и ACE имеют общее ос­но­ва­ние АЕ, и рав­ные вы­со­ты, про­ве­ден­ные из вер­шин В и С со­от­вет­ствен­но (рас­сто­я­ние между па­рал­лель­ны­ми пря­мы­ми AD и ВС не­из­мен­но).

S(ABE) − S(AOE) = S(ACE) − S(AOE). От­сю­да: S(АОВ) = S(ACE).

б)  Те­перь рас­смот­рим тра­пе­цию ВАЕС. Из вер­шин А и Е про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ля­ры к ВС, ос­но­ва­ния ко­то­рых обо­зна­чим М и N со­от­вет­ствен­но.

Вспом­ним, что если у че­ты­рех­уголь­ни­ка диа­го­на­ли вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то суммы квад­ра­тов его про­ти­во­ле­жа­щих сто­рон обя­за­ны быть рав­ны­ми. Сле­до­ва­тель­но,

Пусть NC = x, тогда BM = 4 − 2 − x = 2 − x.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ана­ло­гич­но в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке

Но Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пред­по­ло­жим, что семье Ива­но­вых банк может предо­ста­вить кре­дит в раз­ме­ре х руб­лей. В те­че­ние пер­во­го года после по­лу­че­ния кре­ди­та семья не пе­ре­во­дит денег в банк.

По ис­те­че­нии пер­во­го от­чет­но­го года банк уве­ли­чи­ва­ет долг на 20%. Долг ста­но­вит­ся 1,2х руб. В те­че­ние вто­ро­го от­чет­но­го года Ива­но­вы вно­сят в банк 810 000 руб.

К на­ча­лу тре­тье­го от­чет­но­го года долг семьи ста­но­вит­ся (1,2х − 810000) руб, а с уче­том оче­ред­ной про­цент­ной став­ки:

В те­че­ние этого от­чет­но­го года семья вно­сит в банк 810 000 руб. Долг умень­ша­ет­ся до

Оче­ред­ное при­ме­не­ние про­цент­ной став­ки при­во­дит к тому, что на на­ча­ло чет­вер­то­го от­чет­но­го года долг Ива­но­вых банку ста­но­вит­ся Мо­ло­дая семья вновь вно­сит 810 000 р. Те­перь уже долг Ива­но­вых умень­ша­ет­ся до

На­чи­на­ет­ся пятый, фи­ниш­ный год. Банк вновь уве­ли­чи­ва­ет долг Ива­но­вых на 20%. В ре­зуль­та­те он (долг) ста­но­вит­ся рав­ным В те­че­ние фи­ниш­но­го года Ива­но­вы вновь вно­сят 810 000 руб. В ре­зуль­та­те этого же по­га­ше­ния долга мо­ло­дая семья уже сво­бод­на от даль­ней­ших вы­плат.

Решим урав­не­ние

Ответ: 2096875 руб.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние си­сте­мы:

Это урав­не­ние за­да­ет мно­же­ство окруж­но­стей с цен­тром на пря­мой и ра­ди­у­сом

Вто­рое урав­не­ние за­да­ет пару лучей, ис­хо­дя­щих из точки сим­мет­рич­ных от­но­си­тель­но оси Оу.

Один из этих лучей, оче­вид­но, яв­ля­ет­ся ча­стью пря­мой, за­да­ва­е­мой урав­не­ни­ем дру­гой  — урав­не­ни­ем

Для того чтобы си­сте­ма имела един­ствен­ное ре­ше­ние, не­об­хо­ди­мо, чтобы эти пря­мые имели одну един­ствен­ную общую точку с окруж­но­стью.

Центр окруж­но­сти имеет абс­цис­су зна­чит, при если то По­сколь­ку мы ищем наи­боль­шее зна­че­ние па­ра­мет­ра а, огра­ни­чим­ся лишь рас­смот­ре­ни­ем слу­чая

Тогда:

Под­ста­вим это зна­че­ние х в пер­вое урав­не­ние си­сте­мы и пре­об­ра­зу­ем его:

По­тре­бу­ем, чтобы по­след­нее урав­не­ние имело един­ствен­ный ко­рень. Для этого не­об­хо­ди­мо вы­пол­не­ние усло­вия: чет­верть его дис­кри­ми­нан­та обя­за­на быть рав­ной нулю.

Решим урав­не­ние:

Ис­ко­мым зна­че­ни­ем па­ра­мет­ра а яв­ля­ет­ся

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Раз­ло­жим 65 на про­стые мно­жи­те­ли: по­это­му одно из по­лу­чен­ных чисел долж­но быть равно 13, но ни­ка­кие из на­пи­сан­ных на кар­точ­ках чисел при вы­чи­та­нии не дадут 13. По­это­му такое не­воз­мож­но.

б)  Все числа, кроме 4 и 10 де­лят­ся на 3. Таким об­ра­зом, числа 4 и 10 будут на­пи­са­ны не более, чем на 4 кар­точ­ках. Тогда как ми­ни­мум на двух кар­точ­ках будут на­пи­са­ны числа, де­ля­щи­е­ся на 3 , и, со­от­вет­ствен­но, раз­ность чисел на этих двух кар­точ­ках будет де­лить­ся на 3. Про­из­ве­де­ние же раз­но­стей на всех кар­точ­ках будет де­лить­ся на 9. 120 на 9 не де­лит­ся, по­это­му по­лу­чить число 120 не­воз­мож­но.

в)  Из пунк­та б) ясно, что по­лу­чить на­ту­раль­ное число, мень­шее 9, нель­зя. По­ка­жем, как по­лу­чить 9. Для этого кар­точ­ки надо под­пи­сать так: (3,4); (4,3); (9,10); (10,9); (12,15); (15;12).

Ответ: а) нет. б) нет. в) 9