PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 508130 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ
i
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни, принадлежащие интервалу (−5; 1).
Решение. а) Последовательно получаем:
б) Выборка корней.
Найдем целые n, удовлетворяющие условиям 
или 
Очевидно, таковыми будут числа: 
и 
Целочисленные значения 
и
Далее:
| n | −2 | −1 | 0 |
|---|---|---|---|
 |  |  |  |
 |  |  |  |
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 508130
а) б)
б) 
и 
Прямые, соединяющие их с точками M,N, параллельны диагонали куба 
(как средние линии треугольников 
), поэтому эти точки лежат в плоскости сечения. Соединим их с точками E и 
Образовавшиеся точки пересечения с ребрами
назовем 
а точку пересечения с ребром 
— 
Тогда 
— искомое сечение.
DA за H, 
Очевидно треугольники 
EDG подобны, причем 
откуда 
Тогда
Значит, высота равнобедренной трапеции 
равна 
аналогично высота треугольника 
равна 
поэтому
не удовлетворяет ограничениям на x. Покажем, что 
(неравенство очевидное).
В четырехугольник ONCM вписана окружность.
Аналогично 
как дополняющие равные вертикальные углы AOC и FON до 
По второму признаку равенства треугольников: 
Отсюда: 
получим: 
Так как 
то 
как вертикальные, OM = ON по выше доказанному. 
соответственно, откуда 
как вертикальные. Значит, 
по второму признаку равенства треугольников, откуда 
Значит, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB. 
Значит, 
следовательно, 
Следовательно, искомый радиус 
тыс.
имеет ровно один корень."
где 
Найдем значения а, удовлетворяющие неравенству 
Очевидно, таковыми будут элементы множества 
отрицателен.
с множеством 
общих элементов не имеет. 
неотрицателен, но оба корня 
Это — первая часть решения исходной системы.
но оба корня 
строго меньше 3. Необходимое и достаточное условия: 
Решим систему неравенств: 
и 0. 
Если 
то в наборе не найдется двух других гирь с такой же суммарной массой (любая пара других гирь будет тяжелее), значит, 
Таким образом, чтобы выполнялось условие 1), между 
и 
следует расположить по крайней мере еще три гири веса, отличного от веса гирь 
и 
Обозначим веса всех гирь в наборе так: 
Поскольку между гирями веса 
и b нет других гирь, отличающихся по весу от 
и b, а также с учетом того, что 
Значит, гирь веса b в наборе должно быть как минимум 2. Аналогично, гирь веса d в наборе также должно быть как минимум 2. Таким образом, n должно быть не меньше 
Приведем пример: 4 гири веса 1, 2 гири весом 2, 1 гиря весом 3, две гири весом 4 и 4 гири весом 5.