Имеется набор гирь со следующими свойствами: 1) в нем есть 5 гирь, попарно различных по весу; 2) для любых двух гирь найдутся две другие гири такого же суммарного веса.
А) Докажите, что в таком наборе обязательно найдутся две гири одинакового веса.
Б) Обязательно ли в таком наборе найдутся четыре гири одинакового веса?
В) Какое наименьшее количество гирь может быть в этом наборе?
а) Упорядочим гири по неубыванию веса: 
Если 
то в наборе не найдется двух других гирь с такой же суммарной массой (любая пара других гирь будет тяжелее), значит, 
б) Продолжим рассуждение из пункта а). Пусть Тогда пара гирь, с такой же суммарной массой может состоять только из гирь точно такой же массы как x_1 и x_2. Таким образом, нашлись четыре гири одинакового веса.
в) Аналогично пункту б) 
Таким образом, чтобы выполнялось условие 1), между 
и 
следует расположить по крайней мере еще три гири веса, отличного от веса гирь 
и 
Обозначим веса всех гирь в наборе так: 
Поскольку между гирями веса 
и b нет других гирь, отличающихся по весу от 
и b, а также с учетом того, что - это минимальный вес гири в наборе, то для пары гирь веса и b, равной по весу будет только пара гирь веса и 
Значит, гирь веса b в наборе должно быть как минимум 2. Аналогично, гирь веса d в наборе также должно быть как минимум 2. Таким образом, n должно быть не меньше 
Приведем пример: 4 гири веса 1, 2 гири весом 2, 1 гиря весом 3, две гири весом 4 и 4 гири весом 5.
Ответ: б) да; в) 13.