Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 C3 № 508132
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство \log _x левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 3 минус \log _ дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 2 x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем огра­ни­че­ния на x.

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 0 , новая стро­ка x не равно 1 , новая стро­ка 1 минус 2x боль­ше 0 , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 2 боль­ше 0 , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 2 не равно 1 новая стро­ка конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка x боль­ше 0 , новая стро­ка x не равно 1 , новая стро­ка x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 2x минус 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби мень­ше 0 , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби не равно 3 новая стро­ка конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: x минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , зна­ме­на­тель: x конец дроби мень­ше 0 , новая стро­ка x не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка x не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец си­сте­мы .

 

Для таких x:

\log _x левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 3 минус \log _ левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: x конец дроби минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка x рав­но­силь­но \log _x левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \log _x левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус \log _xx конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но \log _x левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: \log _x левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 конец дроби мень­ше или равно 0.

Вве­дем новую пе­ре­мен­ную. Пусть \log _x левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =t.

Тогда:

t минус 3 плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t минус 1 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те минус 3t минус t плюс 3 плюс 1, зна­ме­на­тель: t минус 1 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: t в квад­ра­те минус 4t плюс 4, зна­ме­на­тель: t минус 1 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка t минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: t минус 1 конец дроби мень­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка t=2 , новая стро­ка t минус 1 мень­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка t=2 , новая стро­ка t мень­ше 1 . конец со­во­куп­но­сти .

При t=2

\log _x левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка =2;x в квад­ра­те =1 минус 2x рав­но­силь­но x в квад­ра­те плюс 2x минус 1=0 рав­но­силь­но x= минус 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Ко­рень по­след­не­го урав­не­ния, рав­ный минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , не удо­вле­тво­ря­ет огра­ни­че­ни­ям на x. По­ка­жем, что  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Дей­стви­тель­но, дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та мень­ше дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 16, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби мень­ше 2 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но целая часть: 1, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 9 мень­ше 2 мень­ше целая часть: 2, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

При t мень­ше 1:

\log _x левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 1 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка x не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , новая стро­ка 1 минус 2x боль­ше x конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка 0 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , новая стро­ка x не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , новая стро­ка 3x мень­ше 1 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но 0 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Таким об­ра­зом, ре­ше­ния ис­ход­но­го не­ра­вен­ства  — эле­мен­ты мно­же­ства левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 508132: 511885 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 92
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025