1. Тип Д8 C1 № 508121 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Формулы приведения
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу 
Решение. а) Последовательно получаем:
Уравнение 
решений не имеет.
б) Для выборки корней решим неравенства относительно целочисленных значений 
Из серии корней 
При 
при 
Из серии корней 
При 
при 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 508121
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Формулы приведения
правильной треугольной призмы 
расположены точки 
и М соответственно. Известно, что угол между прямыми KL и АВ равен 
а угол между прямым КМ и АС – 
и М.
— искомое сечение.
то 
тогда и 
а по свойству внешнего угла треугольника: 
Поскольку по условию углы ABD и CAD равны, угол CAD равен 2α. Это значит, что отрезок AB — биссектриса угла CAD, что и требовалось доказать.
следовательно, 
и 
Проведем медиану BE к стороне 
BE также будет служить высотой этого треугольника. Тогда в прямоугольном треугольнике ABE по теореме Пифагора 
числа 3; 4 и 5 — пифагоровы. Следовательно, 
Положим 
тогда 
По теореме косинусов для треугольника АВС находим:
Чтобы найти х, используем теорему косинусов для треугольника ADB, подставив найденный косинус угла BAC:
откуда 
или 
или 
акций, второй — 
акций. 
акций на сумму 3640 р. Следовательно, на тот момент цена каждой акции составляла:
р.
акций, второй 
акций. Всего было продано 
акций. К моменту продажи цена одной акции стала
(р), т. е. на 
(р) выше.
(1)
рублей.
рублей, а второй брокер — на 
рублей.
(2)
принимает значение, равное 2, в двух различных точках.
(см. рис.) и определим, при каких значениях параметра он имеет ровно две точки пересечения с пучком прямых 
имеющих угловой коэффициент а и проходящих через точку (8; 0).
пересекает график функции в одной точке, а прямая (3) с угловым коэффициентом 
— в трех точках. Прямые (2) с угловыми коэффициентами 
пересекают график функции g в двух точках. Аналогично прямая (5) с угловым коэффициентом 0 пересекает график функции в трех точках, а прямая (7) с угловым коэффициентом −1 — в одной точке. Две точки имеют с графиком данной функции прямые (6), имеющие угловые коэффициенты которых 
имеет два различных корня».
тогда 
и уравнение примет вид: 
в таком случае 
Тогда 
тогда 
и уравнение примет вид: 
тогда 
тогда 
Заметим, что других разложений на сумму двух последовательных чисел быть не может.
- сумма последовательных натуральных чисел (
так как случай 
уже разобран в пункте а)). Тогда по формуле суммы арифметической прогрессии получаем 
Значит, 4030 делится на n, кроме того 
Заметим, что 
тогда 
Значит, можно представить 2015 в виде суммы пяти последовательных нечетных натуральных чисел.
; б) 7 способов; в) да.