PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 508107 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения высших степеней, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций, Основное тригонометрическое тождество и его следствия
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Домножение на сумму/разность выражений
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения, исследование ОДЗ
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. а) Последовательно получаем:
Уравнение 
действительных корней не имеет.
б) Выборку корней сделаем с использованием единичной окружности.
Ответ: а) 
б) 
Замечания:
1. Здесь умножение обеих частей уравнения 
на 
к появлению посторонних решений не приводит.
2. Заданное уравнение можно решить и так:
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 508107
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения высших степеней, Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций, Основное тригонометрическое тождество и его следствия
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Домножение на сумму/разность выражений
Найдем значения этих элементов. 
при любом 
поскольку 
так как 
Тогда:
то 
то опирающийся на ту же дугу вписанный угол равен 
а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу с противоположной стороны, равен 
Выпишем теорему косинусов для треугольника ABC:
получим:
в самое первое выражение теоремы косинусов:
у. е.,
у. е.
часть от суммы 
составим и решим относительно r уравнение:
на 
больше, чем квадрат разности корней уравнения 
Найдем его больший корень: 
так как 
Следовательно, 
Таким образом, 
и 
Выразим квадрат разности этих корней так, чтобы в дальнейшем было удобно использовать теорему Виета для приведенного квадратного уравнения:
Эта разность по условию задачи равна 
то есть 
Решим уравнение 
относительно а:
имеет корни (теорема Виета это не гарантирует). Найдем дискриминант:
или 
партий между мальчиками и 
поэтому партий между мальчиками и девочками будет 
Пусть девочки набрали в этих партиях 
очков (например, каждая девочка сыграла с одним из мальчиков вничью, а остальным проиграла). Тогда общее количество очков, набранных девочками, равно 
Общее количество очков, набранных мальчиками равно 
Таким образом, мальчики набрали втрое больше очков, чем девочки.