Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти. По­лу­ча­ем:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  В тре­уголь­ни­ке CSN через точку M про­ве­дем сред­нюю линию MK. Тогда K  — се­ре­ди­на CN, а пря­мая MK лежит в плос­ко­сти α. Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мой BK (а вме­сте с ней  — и плос­ко­сти α) с реб­ром CD. Тогда тре­уголь­ник BLM  — се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α.

Пусть P  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых CN и AB. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки CDN и PAN равны по ка­те­ту и остро­му углу, сле­до­ва­тель­но, CN  =  PN и CD  =  PA. Тре­уголь­ни­ки CLK и PBK по­доб­ны по двум углам, сле­до­ва­тель­но,

б)  Рас­сто­я­ние от пря­мой до па­рал­лель­ной ей плос­ко­сти равно рас­сто­я­нию от какой-⁠либо точки этой пря­мой до этой плос­ко­сти. Най­дем рас­сто­я­ние от точки N до плос­ко­сти α как длину вы­со­ты h_N, пи­ра­ми­ды MNLB, про­еден­ной из точки N на ос­но­ва­ние MLB. На­хо­дим:

Вы­со­та h_M пи­ра­ми­ды MNLB, опу­щен­ная из вер­ши­ны M, равна по­ло­ви­не вы­со­ты h_S пи­ра­ми­ды SABCD, опу­щен­ной из вер­ши­ны S. По­лу­ча­ем:

Вы­чис­лим пло­щадь тре­уголь­ни­ка MLB. Пусть угол между бо­ко­вым реб­ром пи­ра­ми­ды и при­ле­жа­щей сто­ро­ной ос­но­ва­ния равен β. За­ме­тим, что:

Тогда

При­ме­ним фор­му­лу Ге­ро­на:

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: б)

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что при верны ра­вен­ства

тогда

При­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции: на об­ла­сти опре­де­ле­ния ло­га­риф­ма знаки вы­ра­же­ний и сов­па­да­ют, а по­то­му ис­ход­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но сле­ду­ю­щим:

Это же ре­ше­ние можно за­пи­сать не­сколь­ко иначе.

Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство:

Ответ:

Ре­ше­ние. Если пен­си­он­ный фонд про­даст цен­ные бу­ма­ги в конце года k, то в конце два­дца­то­го года на его счёте будет тыс. руб­лей. Срав­ним числа a_k и

Урав­не­ние имеет корни или Таким об­ра­зом, при при Зна­чит,

по­это­му наи­боль­ший член по­сле­до­ва­тель­но­сти (a_k)  — это a₉, то есть цен­ные бу­ма­ги надо про­да­вать в конце де­вя­то­го года.

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. а)  Пусть BB₁ и CC₁  — вы­со­ты тре­уголь­ни­ка, тогда

Точки H и D лежат в одной по­лу­плос­ко­сти от­но­си­тель­но пря­мой BC и сле­до­ва­тель­но, точки B, H, D, C лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Пусть тогда Зна­чит,

Тогда

Таким об­ра­зом,

Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да

Ответ: б)  34°.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что при урав­не­ние не имеет ре­ше­ний. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние при

Пусть Тогда

При урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, при или урав­не­ние имеет один ко­рень, при или урав­не­ние имеет два корня: Чтобы урав­не­ние имело ровно два раз­лич­ных корня, боль­ших чем 3, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы при вы­пол­ня­лась си­сте­ма не­ра­венств:

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Если каж­дый сыг­рал по 15 пар­тий, то вме­сте они сыг­ра­ли 45 пар­тий, при этом в каж­дой пар­тии участ­ву­ют два че­ло­ве­ка, зна­чит, пар­тий было   — не­це­лое число.

б)  Да. Пусть Саша сыг­рал 8 пар­тий, Петя  — 12 и Паша  — 18, то есть Паша сыг­рал 11 пар­тий с Петей и  7  — с Сашей, а еще одну Петя и Саша сыг­ра­ли между собой. Тогда тре­бо­ва­ния за­да­чи вы­пол­ня­ют­ся.

в)  Пусть они сыг­ра­ли a, a + d, a + 2d пар­тий. Тогда общее число сыг­ран­ных ими пар­тий со­став­ля­ет

что не­воз­мож­но, по­сколь­ку  46 не де­лит­ся на  3.

г)  Ана­ло­гич­но пунк­ту в) по­лу­ча­ем, что от­ку­да то есть Петя сыг­рал 20 пар­тий. В осталь­ных пар­ти­ях он не играл, зна­чит, их сыг­ра­ли Саша с Пашей.

Ответ: а)  нет; б)  да; в)  нет; г)  10.