Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Урав­не­ние ре­ше­ний не имеет.

б)  Ясно, что Сле­до­ва­тель­но, на най­дет­ся лишь один ко­рень за­дан­но­го урав­не­ния, рав­ный

Ответ: б)

Ре­ше­ние. По­сколь­ку плос­кость па­рал­лель­на двум скре­щи­ва­ю­щим­ся реб­рам тет­ра­эд­ра, она пе­ре­се­ка­ет две грани по пря­мым, па­рал­лель­ным од­но­му из ребер, а дру­гие две  — по пря­мым, па­рал­лель­ным вто­ро­му ребру. Зна­чит, се­че­ние  —

па­рал­ле­ло­грамм.

По­сколь­ку и EF  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, а точки E и F  — се­ре­ди­ны ребер. Тогда осталь­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма  — тоже сред­ние линии в со­от­вет­ству­ю­щих гра­нях, от­ку­да

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Пре­жде най­дем про­ме­жут­ки зна­ко­по­сто­ян­ства функ­ции

От­сю­да вывод: при всех Од­на­ко при и левая, и пра­вая части не­ра­вен­ства об­ра­ща­ют­ся в нуль. Сле­до­ва­тель­но, за­дан­ное не­ра­вен­ство при не вы­пол­ни­мо.

Решим не­ра­вен­ство на про­ме­жут­ках:

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­ем пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Те­перь решим вто­рое не­ра­вен­ство. Найдём огра­ни­че­ния на

Ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы есть мно­же­ство

Пе­ре­се­че­ни­ем ре­ше­ний обоих не­ра­венств будет мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим сна­ча­ла в общем виде такую за­да­чу.

Точка на­хо­ди­ся на рас­сто­я­нии от цен­тра окруж­но­сти ра­ди­у­са r. Из нее про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные. Найти рас­сто­я­ние между точ­ка­ми ка­са­ния.

За­ме­тим, что эта точка, центр окруж­но­сти, и точка ка­са­ния об­ра­зу­ют пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, а его вы­со­та  — по­ло­ви­на ис­ко­мо­го рас­сто­я­ния. По­это­му ис­ко­мое рас­сто­я­ние есть

Пе­рей­дем к ис­ход­ной за­да­че. Если окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом, и ка­са­тель­ные про­ве­де­ны к боль­шей окруж­но­сти, то и ответ

Если окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом, и ка­са­тель­ные про­ве­де­ны к мень­шей окруж­но­сти, то и ответ

Если окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом, и ка­са­тель­ные про­ве­де­ны к мень­шей окруж­но­сти, то и ответ

Если окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом и ка­са­тель­ные про­ве­де­ны к боль­шей окруж­но­сти, то это не­воз­мож­но, по­сколь­ку центр мень­шей лежит внут­ри боль­шей.

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что раз­ность между чис­ли­те­лем и зна­ме­на­те­лем равна и сов­па­да­ет по знаку с x. По­это­му при по­ло­жи­тель­ных x чис­ли­тель дол­жен быть по­ло­жи­те­лен, а зна­ме­на­тель от­ри­ца­те­лен, при от­ри­ца­тель­ных x  — на­о­бо­рот. За­ме­тим также, что по­это­му и чис­ли­тель, и зна­ме­на­тель имеют по два корня раз­ных зна­ков. Обо­зна­чая за корни чис­ли­те­ля, а за корни зна­ме­на­те­ля имеем и Итак, по­это­му ин­те­ре­су­ю­щая нас сумма длин ин­тер­ва­лов есть про­сто

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Для про­сто­ты рас­суж­де­ний до­ба­вим мыс­лен­но одну банку мас­сой ноль. Пер­вое взве­ши­ва­ние зав­хоз ор­га­ни­зу­ет так: на одну чашку кла­дет 27 самых тя­же­лых банок, а на дру­гую  — 27 самых лег­ких. По­лу­ча­ет­ся мак­си­маль­но воз­мож­ная раз­ность. Осталь­ные участ­ни­ки экс­пе­ди­ции долж­ны при­знать, что раз­би­е­ние на три груп­пы про­из­ве­де­но пра­виль­но: (27 тя­же­лых, 27 сред­них, 27 лег­ких). Зав­хоз по­ме­ча­ет банки бук­ва­ми «т», «с», «л». Вто­рое и сле­ду­ю­щие взве­ши­ва­ния ор­га­ни­зу­ют­ся ана­ло­гич­но. Пусть банки после k-го взве­ши­ва­ния раз­би­ты на 3^k групп по 3^4 − k банок, по­ме­чен­ных не­ко­то­рым k-бук­вен­ным сло­вом из букв т, с, л. Из каж­дой груп­пы бе­рет­ся треть самых тя­же­лых и треть самых лег­ких; тя­же­лые кла­дут­ся на одну чашу весов, а лег­кие  — на дру­гую. В итоге, каж­дая треть каж­дой груп­пы опре­де­ля­ет­ся од­но­знач­но и об­ра­зу­ет груп­пу сле­ду­ю­ще­го ранга, а банки по­ме­ча­ют­ся еще одной бук­вой «т», «с», или «л». После 4-го взве­ши­ва­ния груп­пы будут со­сто­ять из одной банки, при этом все банки по­ме­ча­ют­ся сло­вом из 4-х букв. Такое слово од­но­знач­но ука­зы­ва­ет банку, и за­да­ча ре­ше­на.

б)  Пусть про­ве­де­но три взве­ши­ва­ния. Каж­дая банка при пер­вом взве­ши­ва­нии либо ока­за­лась на той чашке весов, ко­то­рая пе­ре­ве­си­ла, либо на дру­гой, либо во­об­ще не взве­ши­ва­лась. В за­ви­си­мо­сти от этого по­ме­тим каж­дую банку бук­вой «т», «л» или «с» (это зна­чит, что банка не взве­ши­ва­лась). Ана­ло­гич­ным об­ра­зом ста­вим букву при вто­ром и тре­тьем взве­ши­ва­нии. Слов из трех букв всего 27, а банок 80, зна­чит, най­дут­ся по мень­шей мере две банки с оди­на­ко­вой под­пи­сью. Зна­чит, мы не можем их раз­ли­чить, по­это­му трех взве­ши­ва­ний не­до­ста­точ­но.