ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 506042 Добавить в вариант

Найти все значения a, при каждом из которых сумма длин интервалов, составляющих решение неравенства

$дробь: числитель: x в квадрате плюс левая круглая скобка 2a в квадрате плюс 2 правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 4a минус 6, знаменатель: x в квадрате плюс левая круглая скобка a в квадрате плюс 5a минус 5 правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 4a минус 6 конец дроби меньше 0$ не меньше 1.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что разность между числителем и знаменателем равна $левая круглая скобка a в квадрате минус 5a плюс 7 правая круглая скобка x$ и совпадает по знаку с x. Поэтому при положительных x числитель должен быть положителен, а знаменатель отрицателен, при отрицательных x  — наоборот. Заметим также, что $минус a в квадрате плюс 4a минус 6 меньше 0,$ поэтому и числитель, и знаменатель имеют по два корня разных знаков. Обозначая за $x_1 меньше 0,x_2 больше 0$ корни числителя, а за $x_3 меньше 0,x_4 больше 0$ корни знаменателя имеем $x_4 больше x_2$ и $x_3 меньше x_1.$ Итак, $x_4 больше x_2 больше 0 больше x_3 больше x_1,$ поэтому интересующая нас сумма длин интервалов есть просто $x_4 минус x_2 плюс x_3 минус x_1.$

$x_4 минус x_2 плюс x_3 минус x_1= левая круглая скобка x_4 плюс x_3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x_2 плюс x_1 правая круглая скобка = минус левая круглая скобка a в квадрате плюс 5a минус 5 правая круглая скобка плюс 2a в квадрате плюс 2=a в квадрате минус 5a плюс 7 больше или равно 1,$ $x_4 минус x_2 плюс x_3 минус x_1= левая круглая скобка x_4 плюс x_3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x_2 плюс x_1 правая круглая скобка =$
$= минус левая круглая скобка a в квадрате плюс 5a минус 5 правая круглая скобка плюс 2a в квадрате плюс 2=a в квадрате минус 5a плюс 7 больше или равно 1,$

$левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка больше или равно 0,$ $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ,2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ,2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 33

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь