Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 506042

Найти все значения a, при каждом из которых сумма длин интервалов, составляющих решение неравенства

 дробь: числитель: x в квадрате плюс левая круглая скобка 2a в квадрате плюс 2 правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 4a минус 6, знаменатель: x в квадрате плюс левая круглая скобка a в квадрате плюс 5a минус 5 правая круглая скобка x минус a в квадрате плюс 4a минус 6 конец дроби меньше 0 не меньше 1.

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что разность между числителем и знаменателем равна  левая круглая скобка a в квадрате минус 5a плюс 7 правая круглая скобка x и совпадает по знаку с x. Поэтому при положительных x числитель должен быть положителен, а знаменатель отрицателен, при отрицательных x — наоборот. Заметим также, что  минус a в квадрате плюс 4a минус 6 меньше 0, поэтому и числитель, и знаменатель имеют по два корня разных знаков. Обозначая за x_1 меньше 0,x_2 больше 0 корни числителя, а за x_3 меньше 0,x_4 больше 0 корни знаменателя имеем x_4 больше x_2 и x_3 меньше x_1. Итак, x_4 больше x_2 больше 0 больше x_3 больше x_1, поэтому интересующая нас сумма длин интервалов есть просто x_4 минус x_2 плюс x_3 минус x_1.

x_4 минус x_2 плюс x_3 минус x_1= левая круглая скобка x_4 плюс x_3 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x_2 плюс x_1 правая круглая скобка = минус левая круглая скобка a в квадрате плюс 5a минус 5 правая круглая скобка плюс 2a в квадрате плюс 2=a в квадрате минус 5a плюс 7 больше или равно 1,

 левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка больше или равно 0, a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ,2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; бесконечность правая круглая скобка .

 

Ответ: a принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ,2 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a

ИЛИ

установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 33.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром