Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д13 C3 № 506040

Решите систему неравенств  система выражений  новая строка x в квадрате плюс 2x больше x умножить на \log _3 левая круглая скобка 27 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка ,  новая строка \log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 5 конец дроби левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 36 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка правая круглая скобка больше или равно минус 2 .  конец системы .

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим первое неравенство системы. Прежде найдем промежутки знакопостоянства функции y=27 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3:

27 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3= 27 умножить на дробь: числитель: 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка , знаменатель: 9 конец дроби минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3= 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3. D=1 минус 36 меньше 0.

Отсюда вывод: 27 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 больше 0 при всех x принадлежит R. Однако при x=0 и левая, и правая части неравенства обращаются в нуль. Следовательно, заданное неравенство при x=0 не выполнимо.

Решим неравенство на промежутках:  левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая круглая скобка и левая круглая скобка 0; плюс бесконечность правая круглая скобка :

x в квадрате плюс 2x больше x умножить на \log _3 левая круглая скобка 27 умножить на 9 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0, x плюс 2 больше \log _3 левая круглая скобка 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка , конец системы . система выражений x меньше 0, x плюс 2 меньше \log _3 левая круглая скобка 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка конец системы . конец совокупности . равносильно

 

 равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0, \log _33 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка больше \log _3 левая круглая скобка 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка , конец системы . система выражений x меньше 0, \log _33 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше \log _3 левая круглая скобка 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 правая круглая скобка конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0, 9 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3, конец системы . система выражений x меньше 0, 9 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 конец системы . конец совокупности . равносильно

 

 равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0, 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 меньше 0, конец системы . система выражений x меньше 0, 3 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 10 умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 3 больше 0 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0, 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 1 меньше 0,  конец системы . система выражений x меньше 0, 3 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 3 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 1 больше 0  конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений x больше 0, дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби меньше 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше 3,  конец системы . система выражений x меньше 0, совокупность выражений 3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ,  3 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 3 конец системы . конец совокупности . конец совокупности . равносильно совокупность выражений 0 меньше x меньше 1 x меньше минус 1 конец совокупности ..

Таким образом, решением первого неравенства системы является множество  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка .

Теперь решим второе неравенство. Найдём ограничения на x:

6 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 36 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка больше 0 равносильно 6 умножить на 6 в степени x минус 6 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка больше 0 равносильно 6 в степени x левая круглая скобка 6 в степени x минус 6 правая круглая скобка меньше 0 равносильно x меньше 1.

 

 логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 5 правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 36 в степени x правая круглая скобка \geqslant минус 2 равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 5 правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка 6 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 36 в степени x правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 5 правая круглая скобка конец дроби 5 равносильно система выражений  новая строка x меньше 1, новая строка 6 умножить на 6 в степени x минус 6 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка меньше или равно 5 конец системы равносильно

 

 равносильно система выражений  новая строка x меньше 1, новая строка 6 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 6 умножить на 6 в степени x плюс 5\geqslant0 конец системы равносильно система выражений  новая строка x меньше 1  новая строка совокупность выражений 6 в степени x меньше или равно 1 6 в степени x \geqslant5 конец системы . конец совокупности . равносильно система выражений  новая строка x меньше 1  новая строка совокупность выражений x меньше или равно 0 6 в степени x \geqslant6 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 6 5 правая круглая скобка конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x меньше или равно 0, новая строка логарифм по основанию 6 5 меньше или равно x меньше 1. конец совокупности

Решения второго неравенства системы есть множество  левая круглая скобка минус бесконечность ;0 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 6 5;1 правая круглая скобка .

Пересечением решений обоих неравенств будет множество  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка логарифм по основанию 6 5;1 правая круглая скобка .

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка \log _65;1 правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы.

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 33.