Ре­ше­ние. а)  Пра­вая часть за­дан­но­го урав­не­ния  — огра­ни­чен­ная функ­ция: Сле­до­ва­тель­но, такие же огра­ни­че­ния сле­ду­ет на­ло­жить и на левую его часть. То есть

Функ­ция ко­си­нус также огра­ни­че­на и не при­ни­ма­ет зна­че­ний, мень­ших −1, по­это­му Но тогда левая часть урав­не­ния равна а ис­ход­ное урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

Решим по­лу­чен­ные урав­не­ния:

Най­дем зна­че­ния x, при ко­то­рых най­ден­ные серии ре­ше­ний и сов­па­дут. Для этого най­дем их зна­че­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Из серии при при при при

Из серии при при при при

Тем самым, общие ре­ше­ния обоих урав­не­ний, имеют вид

б)  Чтобы отобрать корни, решим двой­ное не­ра­вен­ство на мно­же­стве целых чисел:

При най­ден­ных m по­лу­чим:

Ответ:а) б)

Ре­ше­ние. Пусть тогда от­ку­да

Объем приз­мы

В пи­ра­ми­де ACNMB ос­но­ва­ни­ем яв­ля­ет­ся тра­пе­ция CNMB,

Вы­со­та пи­ра­ми­ды h  — рас­сто­я­ние от точки A до плос­ко­сти CNB,

Тогда

Объем остав­шей­ся части

По­это­му от­но­ше­ние объ­е­мов ча­стей равно

При­ме­ча­ние. Можно до­ка­зать, что ответ для плос­ко­сти, пе­ре­се­ка­ю­щей бо­ко­вые ребра в точ­ках K, M, N со­от­вет­ствен­но, будет В нашей за­да­че K сов­па­да­ет с A и ответ

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на

Для таких

Решим по­лу­чен­ное не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов на

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­я­ми вто­ро­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Те­перь решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Вве­дем новую пе­ре­мен­ную. Пусть Тогда:

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной

Ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Пе­ре­се­че­ни­ем ре­ше­ний обоих не­ра­венств яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть в тра­пе­ции ABCD имеем E  — точка ка­са­ния на сто­ро­не CD, CE  =  8, ED  =  18. Пусть также O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти. Тогда тре­уголь­ник COD пря­мо­уголь­ный (так как CO и DO  — бис­сек­три­сы од­но­сто­рон­них углов тра­пе­ции). OE  — его вы­со­та, опу­щен­ная на ги­по­те­ну­зу, по­это­му Итак, ра­ди­ус окруж­но­сти равен 12. По­это­му вы­со­та тра­пе­ции равна 24.

За­ме­тим также, что от­ку­да AB  =  30.

Опу­стим те­перь вы­со­ты BG и CH на ос­но­ва­ние AD. Из тре­уголь­ни­ка ABG по­лу­чим из тре­уголь­ни­ка CDH по­лу­чим

Рас­смот­рим два воз­мож­ных слу­чая:

1.  Обе точки G и H лежат на ос­но­ва­нии тра­пе­ции, тогда

от­ку­да BC  =  14,

2.  Точка H лежит на ос­но­ва­нии тра­пе­ции, а точка G  — на его про­дол­же­нии, тогда

от­ку­да BC  =  32, AD = 56  — 32=24.

За­ме­тим, что слу­чай, когда точка H лежит на про­дол­же­нии ос­но­ва­ния тра­пе­ции, не­воз­мо­жен, по­сколь­ку

Ответ: 14; 42 или 24; 32.

Ре­ше­ние. Под­став­ляя x  =  0, по­лу­ча­ем Левая часть не­по­ло­жи­тель­на, пра­вая не­от­ри­ца­тель­на, по­это­му они могут сов­па­дать толь­ко при b  =  0.

Тогда тож­де­ство при­ни­ма­ет вид Оче­вид­но, a  =  0 под­хо­дит.

Если то обе части не­по­ло­жи­тель­ны, при этом наи­мень­шее зна­че­ние пра­вой части а левой −1, от­ку­да a  =  1. Оно под­хо­дит.

Если то одна часть не­по­ло­жи­тель­на, а дру­гая не­от­ри­ца­тель­на, при этом не все­гда равны нулю. Это не­воз­мож­но.

Ответ: a  =  0 или a  =  1, b  =  0.

Ре­ше­ние. а)  Во время пер­во­го про­хо­да слева на­пра­во Поля за­кро­ет все ячей­ки с чётными но­ме­ра­ми. От­кры­ты­ми оста­нут­ся ячей­ки с нечётными но­ме­ра­ми: 1, 3, …, 47, 49.

Во время вто­ро­го про­хо­да спра­ва на­ле­во Поля за­кро­ет ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых при де­ле­нии на 4 дают в остат­ке 3: 47, 43, 39, …, 3. От­кры­ты­ми оста­нут­ся ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых при де­ле­нии на 4 дают в остат­ке 1: 1, 5, …, 45, 49.

Во время тре­тье­го про­хо­да слева на­пра­во Поля за­кро­ет все ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых дают при де­ле­нии на 8 в остат­ке 5: 5, 13, 21, 29, 37, 45. От­кры­ты­ми оста­нут­ся ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых при де­ле­нии на 8 дают в остат­ке 1: 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49.

Во время четвёртого про­хо­да спра­ва на­ле­во Поля за­кро­ет ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых при де­ле­нии на 16 дают в остат­ке 9: 41, 25, 9. От­кры­ты­ми оста­нут­ся ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых при де­ле­нии на 16 дают в остат­ке 1: 1, 17, 33, 49.

Во время пя­то­го про­хо­да слева на­пра­во Поля за­кро­ет все ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых дают при де­ле­нии на 32 в остат­ке 17: 17, 49. От­кры­ты­ми оста­нут­ся ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых при де­ле­нии на 32 дают в остат­ке 1: 1, 33.

Во время ше­сто­го про­хо­да спра­ва на­ле­во Поля за­кро­ет ячей­ку 1, номер ко­то­рой при де­ле­нии на 64 даёт в остат­ке 1. От­кры­той оста­нет­ся ячей­ка 33, номер ко­то­рой при де­ле­нии на 64 даёт в остат­ке 33.

Таким об­ра­зом,

б)  Пред­по­ло­жим, что на­шлось n, такое, что т. е. по­след­ней от­кры­той ячей­кой яв­ля­ет­ся ячей­ка с но­ме­ром 2013.

Пре­жде всего, за­ме­тим, что если n  — чётно, то по­сколь­ку по­след­няя ячей­ка с но­ме­ром n будет за­кры­та при пер­вом про­хо­де ряда слева на­пра­во, таким об­ра­зом, если бы эта ячей­ка от­сут­ство­ва­ла, то на зна­че­нии но­ме­ра по­след­ней от­кры­той ячей­ки это бы не от­ра­зи­лось. Зна­чит, можно счи­тать n нечётным. Во время пер­во­го про­хо­да слева на­пра­во Поля за­кро­ет все ячей­ки с чётными но­ме­ра­ми. От­кры­ты­ми оста­нут­ся ячей­ки с нечётными но­ме­ра­ми, то есть с но­ме­ра­ми m, да­ю­щи­ми при де­ле­нии на 4 в остат­ке 1 или 3.

Число 2013 при де­ле­нии на 4 даёт в остат­ке 1. По­сколь­ку эта ячей­ка оста­лась от­кры­той, то во время вто­ро­го про­хо­да спра­ва на­ле­во Поля за­кро­ет ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых при де­ле­нии на 4 дают в остат­ке 3. От­кры­ты­ми оста­нут­ся ячей­ки с но­ме­ра­ми m, да­ю­щи­ми при де­ле­нии на 4 в остат­ке 1, то есть с но­ме­ра­ми, да­ю­щи­ми при де­ле­нии на 8 в остат­ке 1 или 5.

По­сколь­ку ячей­ка с но­ме­ром 1 оста­лась от­кры­той, то во время тре­тье­го про­хо­да слева на­пра­во Поля за­кро­ет ячей­ки, но­ме­ра ко­то­рых при де­ле­нии на 8 дают в остат­ке 5. Число 2013 при де­ле­нии на 8 даёт в остат­ке 5. Зна­чит, она долж­на быть за­кры­та во время тре­тье­го про­хо­да ряда. По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие. Сле­до­ва­тель­но, не су­ще­ству­ет на­ту­раль­но­го числа n, та­ко­го что

в)  Пусть где тогда После пер­вых шести про­хо­дов из пер­вых 50 ячеек оста­нет­ся от­кры­той одна ячей­ка с но­ме­ром 33, а ко­ли­че­ство от­кры­тых ячеек с но­ме­ра­ми, боль­ши­ми 50, умень­шит­ся в раз и будет равно Если то после каж­дой пары про­хо­дов слева на­пра­во и спра­ва на­ле­во ячей­ка с но­ме­ром  33 будет оста­вать­ся от­кры­той, а ко­ли­че­ство ячеек с но­ме­ра­ми, боль­ши­ми 50, будет умень­шать­ся в 4 раза. В конце кон­цов, оста­нут­ся от­кры­ты­ми 2 ячей­ки: одна  — с но­ме­ром 33, и дру­гая  — с каким‐⁠то но­ме­ром, боль­шим 50, ко­то­рая будет за­кры­та во время по­след­не­го про­хо­да слева на­пра­во. Зна­чит,

Ответ: а)  33; в)  33.