Ре­ше­ние. а)  Пе­ре­пи­шем урав­не­ние, ис­поль­зуя фор­му­лу пре­об­ра­зо­ва­ния суммы ко­си­ну­сов двух ар­гу­мен­тов в про­из­ве­де­ние:

б)  

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. По­ме­стим приз­му в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Най­дем ко­ор­ди­на­ты не­об­хо­ди­мых точек:

Со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти оно имеет вид Имеем:

Итак, урав­не­ние плос­ко­сти: или Её нор­маль­ный век­тор

Далее, а по­то­му, если ис­ко­мый угол то

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Оче­вид­но, что Для таких x:

Пусть Тогда:

По­сколь­ку то

Воз­вра­ща­ясь к пе­ре­мен­ной x, будем иметь:

Таким об­ра­зом, ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы есть мно­же­ство

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции.

Най­дем огра­ни­че­ния на

Для таких

Корни квад­рат­но­го трех­чле­на были най­де­ны ранее. Далее будем иметь:

По­сколь­ку то:

С уче­том огра­ни­че­ний на

Итак, ре­ше­ни­ем вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы будет мно­же­ство

Для по­лу­че­ния пе­ре­се­че­ния обоих не­ра­венств срав­ним и До­ка­жем, что Дей­стви­тель­но, (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

Пре­се­че­ни­ем ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. Воз­мож­ны два слу­чая.

Слу­чай 1. Оба ос­но­ва­ния тра­пе­ции лежат по одну сто­ро­ну от цен­тра окруж­но­сти.

Про­ве­дем диа­метр окруж­но­сти, пер­пен­ди­ку­ляр­ный ос­но­ва­ни­ям. Он по­де­лит их по­по­лам. Пусть он пе­ре­сек ос­но­ва­ние в точке M и ос­но­ва­ние в точке N. Обо­зна­чим также центр окруж­но­сти за O, а точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей за T. Имеем тогда

По­это­му вы­со­та тра­пе­ции

За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки ATD и BTC по­доб­ны (по двум углам), при­чем ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен по­это­му и их вы­со­ты из точки T от­но­сят­ся также, от­ку­да На­ко­нец,

Слу­чай 2. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции лежат по раз­ные сто­ро­ны от цен­тра. Тогда все вы­чис­ле­ния оста­ют­ся теми же кроме того, что те­перь вы­со­та тра­пе­ции со­от­вет­ствен­но то есть точка T лежит с той же сто­ро­ны от цен­тра, что и мень­шее ос­но­ва­ние тра­пе­ции, по­это­му

Ответ:

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что на ука­зан­ном от­рез­ке при­ни­ма­ет все зна­че­ния из по два раза, а зна­че­ние 1  — один раз.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

Пер­вый мно­жи­тель имеет на ука­зан­ном про­ме­жут­ке два корня. Зна­чит, вто­рой дол­жен иметь один ко­рень (сов­па­дать корни двух мно­жи­те­лей не могут если толь­ко если же то вто­рой мно­жи­тель не до­ба­вит кор­ней). То есть

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Пусть в стра­не A три жи­те­ля с по­ка­за­те­ля­ми 5, 5 и 2. Пусть жи­тель с по­ка­за­те­лем 2 эми­гри­ро­вал в стра­ну B, в ко­то­рой до этого жил всего один жи­тель с по­ка­за­те­лем 1. Тогда рей­тинг стра­ны A вы­рас­тет с 4 до 5, а рей­тинг стра­ны B вы­рас­тет с 1 до 1,5.

б)  По­ка­жем, что при объ­еди­не­нии двух групп людей с рей­тин­га­ми и рей­тинг R новой груп­пы удо­вле­тво­ря­ет усло­вию Дей­стви­тель­но, пусть по­ка­за­те­ли пер­вой груп­пы такие: а вто­рой груп­пы такие:

Тогда

Тогда тогда Тогда тогда

Те­перь ясно, что рей­тинг обеих стран в ре­зуль­та­те эми­гра­ции может вы­рас­ти од­но­вре­мен­но толь­ко если груп­па эми­гран­тов имеет рей­тинг ниже рей­тин­га стра­ны, из ко­то­рой они уез­жа­ют, и выше рей­тин­га стра­ны, в ко­то­рую они при­ез­жа­ют. Таким об­ра­зом, при об­рат­ной эми­гра­ции од­но­вре­мен­ное по­вы­ше­ние рей­тин­га не­воз­мож­но.

в)  При­ве­дем при­мер такой си­ту­а­ции: пусть в стра­не A всего два жи­те­ля с по­ка­за­те­ля­ми 1 и 3, в стра­не B пять жи­те­лей с по­ка­за­те­ля­ми 4, 4, 6, 6 и 55, в стра­не C один жи­тель с по­ка­за­те­лем 1.

Во время пер­вой волны эми­гра­ции из A в B пе­ре­ехал один жи­тель с по­ка­за­те­лем 1, из B в C пе­ре­еха­ло двое жи­те­лей с по­ка­за­те­лем 4. Тогда рей­тин­ги из­ме­ни­лись так: у А вырос с 2 до 3, у B с 15 до 17, у C с 1 до 3.

Во время вто­рой волны эми­гра­ции из C в B пе­ре­ехал один жи­тель с по­ка­за­те­лем 1, из B в А пе­ре­еха­ло двое жи­те­лей с по­ка­за­те­лем 6. Тогда рей­тин­ги из­ме­ни­лись так: у А вырос с 3 до 5, у B с 17 до 19, у C с 3 до 4.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  да.