Ре­ше­ние. а)   Най­дем огра­ни­че­ния на x:

Итак, Для этих зна­че­ний x будем иметь:

Од­на­ко, как было ука­за­но выше, при зна­ме­на­тель левой части урав­не­ния об­ра­тит­ся в нуль. Сле­до­ва­тель­но,

б)  

За­ме­ча­ние.

Из не­ра­вен­ства также сле­ду­ет, что од­на­ко мы это не­ра­вен­ство не вклю­ча­ем в огра­ни­че­ния на x, по­сколь­ку число не вхо­дит в об­ласть зна­че­ний функ­ции ко­си­нус.

Ответ:а) б)

Ре­ше­ние. Пусть H  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Тогда Кроме того,

Пря­мая KM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABD, по­это­му делит AH по­по­лам, а диа­го­наль AC в от­но­ше­нии Обо­зна­чим со­от­вет­ству­ю­щую точку за P, тогда По­сколь­ку (вто­рое  — по­сколь­ку пер­вое  — по­сколь­ку про­ек­ци­ей EP будет CA), то

Итак, в тре­уголь­ни­ке CPE мы знаем два угла и сто­ро­ну. Вы­чис­лим CE по тео­ре­ме си­ну­сов:

по­это­му E  — се­ре­ди­на SC. Тогда про­ек­ция E на ABCD  — се­ре­ди­на CH (обо­зна­чим ее за Q), рас­сто­я­ние от E до плос­ко­сти ос­но­ва­ния равно и SH со­дер­жит сред­нюю линию тре­уголь­ни­ка EPQ, по­это­му де­лит­ся пря­мой EP на от­рез­ки дли­ной 3 и 9, то есть в от­но­ше­нии счи­тая от S. Про­ве­дем через эту точку пря­мую, па­рал­лель­ную BD (а сле­до­ва­тель­но, и KM). Она лежит в се­че­нии и делит ребра SB и SD в от­но­ше­нии счи­тая от S. Эти две точки (F, G) вме­сте с E, P, C яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми се­че­ния. Как мы уже знаем, EP де­лит­ся этой новой пря­мой по­по­лам. Най­дем те­перь пло­щадь се­че­ния.

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство на мно­же­стве ре­ше­ний пер­во­го. Най­дем огра­ни­че­ния на с уче­том того, что

Для таких :

Итак, ис­ко­мым мно­же­ством будет

Ответ:

Ре­ше­ние. Вве­дем ко­ор­ди­на­ты так, чтобы линия цен­тров этих окруж­но­стей была осью абс­цисс, а ось ор­ди­нат про­хо­ди­ла через точку ка­са­ния окруж­но­стей. Тогда цен­тры окруж­но­стей будут и (вы­бе­рем со­от­вет­ству­ю­щее на­прав­ле­ние оси). Пусть ко­ор­ди­на­ты цен­тра ис­ко­мой окруж­но­сти Можно счи­тать, что окруж­ность лежит выше оси, по­это­му Тогда, оче­вид­но, ее ра­ди­ус дол­жен быть равен b.

Ясно, что на­чаль­ных двух окруж­но­стей она ка­са­ет­ся внеш­ним об­ра­зом. Тогда рас­сто­я­ния между ее цен­тром и цен­тра­ми осталь­ных окруж­но­стей равны сумма ра­ди­у­сов ее и осталь­ных окруж­но­стей. По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний

Вы­чи­тая урав­не­ния, на­хо­дим

Под­став­ляя в пер­вое урав­не­ние, по­лу­ча­ем

По­сколь­ку по­де­лим на него и до­мно­жим на зна­ме­на­тель.

Ответ:

Ре­ше­ние. Чтобы у урав­не­ния были корни, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы его дис­кри­ми­нант был не­от­ри­ца­те­лен. За­ме­тим еще сразу, что иначе не опре­де­лен.

Вы­чис­лим дис­кри­ми­нант и решим не­ра­вен­ство.

Если то по­лу­ча­ем ра­вен­ство. Если то пер­вая скоб­ка по­ло­жи­тель­на, зна­чит, и вто­рая долж­на быть не­от­ри­ца­тель­на, то есть

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим по­сле­до­ва­тель­ность: Легко ви­деть, что это про­грес­сия с раз­но­стью

б)  Пусть су­ще­ству­ет бес­ко­неч­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия, все члены ко­то­рой яв­ля­ют­ся чле­на­ми дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти. Пусть, для опре­де­лен­но­сти, пер­вый член этой про­грес­сии равен а раз­ность этой про­грес­сии равна Тогда возь­мем на­ту­раль­ное n такое, что Тогда по­лу­чим, что Зна­чит, -й член нашей про­грес­сии от­ри­ца­тель­ный, а этого не может быть.

в)  Рас­смот­рим сле­ду­ю­щую ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию: …, Ясно, что каж­дая из этих дро­бей яв­ля­ет­ся чле­ном дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  да.