СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505975

Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешним образом. Найдите радиусы окружностей, касающихся обеих данных окружностей и прямой, проходящей через центры данных.

Решение.

Введем координаты так, чтобы линия центров этих окружностей была осью абсцисс, а ось ординат проходила через точку касания окружностей. Тогда центры окружностей будут и (выберем соответствующее направление оси). Пусть координаты центра искомой окружности Можно считать, что окружность лежит выше оси, поэтому Тогда, очевидно, ее радиус должен быть равен b.

Ясно, что начальных двух окружностей она касается внешним образом. Тогда расстояния между ее центром и центрами остальных окружностей равны сумма радиусов ее и остальных окружностей. Получаем систему уравнений

Вычитая уравнения, находим

Подставляя в первое уравнение, получаем

Поскольку поделим на него и домножим на знаменатель.

 

Ответ:

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный вариант № 22.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности