Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние:

Урав­не­ние ре­ше­ний не имеет.

б)  

Из гра­фи­ка по­лу­чим:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Пусть точка N  — се­ре­ди­на ги­по­те­ну­зы По­стро­им за­дан­ное се­че­ние (CMNB, M  — се­ре­ди­на от­рез­ка ), P  — про­ек­ция точки M на плос­кость ниж­не­го ос­но­ва­ния приз­мы.

По­ме­стим приз­му в де­кар­то­ву си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

Со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти По­сколь­ку се­че­ние про­хо­дит через на­ча­ло ко­ор­ди­нат, зна­че­ние d в урав­не­нии будет равно нулю. Сто­ро­на BC за­дан­но­го тре­уголь­ни­ка лежит на оси это зна­чит, что в урав­не­нии плос­ко­сти зна­че­ние ко­эф­фи­ци­ен­та а рано нулю. Итак, ис­ко­мое урав­не­ние будет иметь вид: Пусть Тогда

Вы­пи­шем ко­ор­ди­на­ты не­об­хо­ди­мых точек:

Для на­хож­де­ния зна­че­ний в и с до­ста­точ­но под­ста­вить ко­ор­ди­на­ты точки M в урав­не­ние

Итак, ис­ко­мое урав­не­ние вы­гля­дит так: Раз­де­лим обе части урав­не­ния на По­лу­чим:

Далее для вы­чис­ле­ния зна­че­ния m ис­поль­зу­ем фор­му­лу рас­сто­я­ния от точки до плос­ко­сти.

(не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи).

Итак, ВС = 4. Оче­вид­но, что (по свой­ству сред­ней линии тре­уголь­ни­ка).

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке MPC =

Для вы­чис­ле­ния ис­ко­мой пло­ща­ди за­ме­тим:

1)     — тра­пе­ция по спо­со­бу по­стро­е­ния и с уче­том усло­вия за­да­чи.

2)  MC  — на­клон­ная к (ABC), PC  — про­ек­ция на­клон­ной сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах.

Ответ:

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Пусть Тогда Далее будем иметь:

Раз­ло­жим чис­ли­тель и зна­ме­на­тель левой части по­след­не­го не­ра­вен­ства на ли­ней­ные мно­жи­те­ли:

Итак, имеем: По­сколь­ку то

Решим по­след­нее не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной

Итак, ре­ше­ни­ем пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Най­дем огра­ни­че­ния на

Для таких x:

Так как то

Но с уче­том огра­ни­че­ний на x будем иметь:

Ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства есть мно­же­ство

Ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы най­дем пе­ре­се­кая ре­ше­ния пер­во­го и вто­ро­го не­ра­венств. Но пре­жде до­ка­жем не­ра­вен­ства:

Ис­ко­мое пе­ре­се­че­ние:

Ответ:

Ре­ше­ние.

Со­еди­ним вер­ши­ну B с точ­кой M (пе­ре­се­че­ние окруж­но­сти и ос­но­ва­ния AC): угол BMC опи­ра­ет­ся на диа­метр, по­это­му он равен 90°. Тогда BM яв­ля­ет­ся вы­со­той и, сле­до­ва­тель­но, ме­ди­а­ной тре­уголь­ни­ка ABC. От­сю­да сле­ду­ет, что

Из свойств се­ку­щих к окруж­но­сти по­лу­ча­ем:

Далее ре­ше­ние за­да­чи раз­би­ва­ет­ся на 2 слу­чая:

1)  AK = 1, BK = 2: тогда

2)  AK = 2, BK = 1: тогда

Ответ: или

Ре­ше­ние. По­про­бу­ем ре­шить си­сте­му в за­ви­си­мо­сти от a.

По­де­лим пер­вое не­ра­вен­ство на и пре­об­ра­зу­ем его

По­сколь­ку и из вто­ро­го усло­вия сле­ду­ет, что по­это­му пер­вый мно­жи­тель не ока­зы­ва­ет вли­я­ния на знак.

От­ме­тим сразу, что при­ни­ма­ет все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ние из про­ме­жут­ка

Вто­рое усло­вие си­сте­мы те­перь может быть пе­ре­пи­са­но в виде

За­ме­тим также, что при вы­ра­же­ние при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка Можно обо­зна­чить и по­лу­чить в ре­зуль­та­те такую си­сте­му

До этого мо­мен­та все пре­об­ра­зо­ва­ния были рав­но­силь­ны. По най­ден­но­му t мы опре­де­лим y и а потом и x (по­сколь­ку по тре­тье­му усло­вию такое x по­до­брать удаст­ся). Итак, нам нужно, чтобы эта си­сте­ма не имела ре­ше­ний.

При тре­тье не­ра­вен­ство сле­ду­ет из вто­ро­го, при   — вто­рое сле­ду­ет из тре­тье­го. Так что до­ста­точ­но огра­ни­чить­ся одним из них.

Слу­чай 1. За­ме­тим, что при­ни­ма­ет все зна­че­ния не мень­шие По­это­му если то ре­ше­ний не будет, а если   — то будут. Итак,

Слу­чай 2. За­ме­тим, что при­ни­ма­ет все зна­че­ния не мень­шие По­это­му если то ре­ше­ний не будет, а если   — то будут. Итак,

От­ме­тим, что

Слу­чай 3. Тогда тре­тье не­ра­вен­ство, оче­вид­но, вы­пол­нять­ся не может.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим сле­ду­ю­щую про­грес­сию с пер­вым чле­ном 900 и раз­но­стью 901:

Суммы цифр её чле­нов со­став­ля­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.

б)  пусть – пер­вый член про­грес­сии, m – ко­ли­че­ство цифр в де­ся­тич­ной за­пи­си числа d  — раз­ность про­грес­сии, – сумма цифр числа Тогда Кроме того, Таким об­ра­зом, числа не могут быть чле­на­ми одной про­грес­сии, так как пер­вое мень­ше вто­ро­го, а вто­рое равно тре­тье­му.

Ответ: а) да; б) нет.