PDF-версии: 
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. а) Ограничения на 
Решением этого неравенства заниматься мы не будем, проверку корней получаемого уравнения-следствия сделаем в конце решения, подставляя полученные значения в знаменатель левой части уравнения.
Приравняем к нулю числитель и решим уравнение-следствие.
Мы получили корни уравнения-следствия. Возможно, что некоторые из них не подойдут, если они не удовлетворяют ограничениям, указанным выше. Проверим.
При 
Итак, числа вида 
корнями уравнения не являются.
Если 
то 
Пусть 
Тогда 
Если же 
то
Искомыми корнями являются числа вида: 
б) На числовой оси отрезок 
получается из отрезка 
сдвигом его вправо на 
единиц. На отрезке обнаруживается единственный корень уравнения: 
Следовательно, искомым корнем будет 
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
— середины ребер 
и 
соответственно куба 
Найти угол между прямой 
и плоскостью, проходящей через точку K перпендикулярно прямой 
— искомый угол, то:
будет равен углу между прямой MP, перпендикулярной к плоскости, и прямой PE, перпендикулярной к ребру 
Найдем значения x, при которых числитель обращается в нуль, т. е. решения уравнения 
Уравнение решим методом рационализации:
то 4 – единственный корень рассматриваемого уравнения. При 
числитель левой части первого неравенства положительна. Теперь нам надо найти значения x, при которых знаменатель будет положительным. Решениями неравенства 
является множество 
С учетом ограничений на x решения первого неравенства системы: 
значит,
имеем: 
Значит, 
т. е. 
т. е. на этом множестве выражение 
принимает только положительные значения. Следовательно, дальнейшее исследование второго неравенства сводится к решению более простого неравенства: 
значит, 
следовательно, 
значит, дальнейшая наша задача — рассмотрение неравенства 
на множестве 
то
Докажем, что значение этого выражения отрицательно. Действительно, 
(верное неравенство).
для 
что было использовано при решении второго неравенства, легко выводимо. Для доказательства достаточно обе части равенства прологарифмировать по 
и 
Сразу заметим, что перпендикуляр из 
на AB падает в его середину (обозначим ее за K) и имеет длину 
Обозначим радиус первой окружности за r. Возможны два случая.
Тогда 
— прямоугольная трапеция со сторонами 
Опустив в ней высоту из 
найдем по теореме Пифагора 
откуда 
— трапеция со сторонами и диагоналями 
откуда 
или 
получим из системы 
откуда 
то поделим оба неравенства на 
получатся неравества относительно 
который может принимать любые значения. Обозначим его за t и получим, что при всех t должна выполняться система.
). Это числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. Докажем, что набор гирек с такими весами удовлетворяет условию задачи. Ясно, что с помощью данных десяти гирек можно набрать любую массу от 1 до 55. Пусть теперь мы потеряли гирьку с номером 
Тогда из гирек можно набрать любую массу от 1 до 
Тогда получится набрать любую массу от 1 до 
Аналогично, добавляя по гирьке, можно набрать любую массу вплоть до 55. Если же потеряна самая тяжелая гиря, то можно набрать любой вес от 1 до 
Возьмем набор гирек, веса которых равны первым двенадцати членам этой последовательности: