ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 505952 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых для любого значения x выполняется неравенство

$|3 синус в квадрате x плюс 2a синус x умножить на косинус x плюс косинус в квадрате x плюс a|\leqslant3$

Спрятать решение

Решение.

Неравенство равносильно системе

$левая фигурная скобка \beginaligned 3 синус в квадрате x плюс 2a синус x косинус x плюс косинус в квадрате x плюс a меньше или равно 3, 3 синус в квадрате x плюс 2a синус x косинус x плюс косинус в квадрате x плюс a больше или равно минус 3 \endaligned.$

$левая фигурная скобка \beginaligned новая строка 2a синус x косинус x плюс левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка косинус в квадрате x плюс a синус в квадрате x меньше или равно 0, новая строка левая круглая скобка 6 плюс a правая круглая скобка синус в квадрате x плюс 2a синус x косинус x плюс левая круглая скобка 4 плюс a правая круглая скобка косинус в квадрате x больше или равно 0. \endaligned.$

Если $косинус x=0,$ получим из системы $a меньше или равно 0,$ $левая круглая скобка a плюс 6 правая круглая скобка больше или равно 0,$ откуда $a принадлежит левая квадратная скобка минус 6;0 правая квадратная скобка .$

Если же $косинус x не равно 0,$ то поделим оба неравенства на $косинус в квадрате x,$ получатся неравества относительно $тангенс x,$ который может принимать любые значения. Обозначим его за t и получим, что при всех t должна выполняться система.

$левая фигурная скобка \beginaligned новая строка at в квадрате плюс 2at плюс левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, новая строка левая круглая скобка 6 плюс a правая круглая скобка t в квадрате плюс 2at плюс левая круглая скобка 4 плюс a правая круглая скобка больше или равно 0. \endaligned.$

Значит, должны выполняться неравенства про старшие коэффициенты и дискриминанты (если старший коэффициент равен нулю у первого неравенства, оно действительно выполнено всегда. Если у второго  — оно нарушается, например, при t  =  1).

$левая фигурная скобка \beginaligned новая строка a принадлежит левая круглая скобка минус 6;0 правая квадратная скобка , новая строка 4a в квадрате минус 4a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка меньше или равно 0, новая строка 4a в квадрате минус 4 левая круглая скобка 4 плюс a правая круглая скобка левая круглая скобка 6 плюс a правая круглая скобка меньше или равно 0 \endaligned.$

$левая фигурная скобка \beginaligned новая строка a принадлежит левая круглая скобка минус 6;0 правая квадратная скобка , новая строка 8a меньше или равно 0, новая строка 24 плюс 10a больше или равно 0 \endaligned.$

$a принадлежит левая квадратная скобка минус 2.4;0 правая квадратная скобка .$

Ответ: $a принадлежит левая квадратная скобка минус 2.4;0 правая квадратная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 18

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь