PDF-версии: 
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. а) Преобразуем у равнение:
Из-за ограниченности функции синус последнее равенство возможно лишь при одновременном выполнении двух условий: 
и 
Рассмотрим систему уравнений:
Дальнейшая наша задача заключается в том, чтоб найти такое значение x, которое является пересечением полученных результатов, так как то, что получено нами выше является всего лишь решениями каждого из уравнений и 
а не заданного уравнения. Говоря по-другому, эти два равенства обязаны выполняться одновременно и при одном и том же значении некоторого целого значения 
Поскольку это так, то должно выполняться равенство:
Преобразуем это равенство так: 
откуда получим:
Решим последнее уравнение в целых положительных числах относительно 
Выразим n через 
Разумеется, при этом выражение 
также должно быть целым положительным. Пусть оно равно некоторому положительному целому числу 
Тогда
Очевидно, число 
тоже обязано быть целым положительным. Обозначим его 
Таким образом, 
Выразим значение x, равное 
через 
(значение k получено с учетом равенства двух полученных выше результатов), и это будет решением системы относительно переменной 
Итак, общим решением заданного уравнения являются числа вида 
б) Исследуем принадлежность корня заданному промежутку при 
При 
будем иметь: 
Следовательно, 
При 
Ясно, что 
Теперь покажем, что 
Для этого достаточно доказать, что 
Действительно, 
При 
Дальнейшие поиски корней не имеют смысла.
Дополнительные комментарии:
1. В начале решения заданного уравнения мы использовали формулу преобразования произведения синуса и косинуса разных аргументов в сумму синусов, в частности, формулу 
Однако, эта формула и аналогичные формулы для преобразования произведения синусов (косинусов) двух разных аргументов в сумму применяются в практике сравнительно редко, нежели другие тригонометрические формулы. Поэтому большинство учащихся их, как правило, и не помнят. А как эти формулы всё же восстановить в памяти в короткий срок, если помнишь формулы синуса и косинуса суммы двух разных аргументов? А вот как.
Произведение 
встречается в правой части двух формул: в формуле синуса суммы и разности 
и 
Запишем в столбик эти две формулы и сложим их левую и правую части почленно.
_____________________________________
Произведения 
и 
встречаются в правой части формул косинуса суммы и разности и Запишем также в столбик эти две формулы и сложим (вычтем) их левую и правую части.
____________________________________
____________________________________
2. При решении уравнения 
мы ограничились нахождением наименьшего целого положительного значения
Решение уравнения в целых положительных числах можно продолжить и найти наименьшее целое положительное значение переменной 
Сделаем это следующим образом.
Нами уже получен результат 
Тогда
Ясно, что наименьшее положительное значение k равно 8, аналогичное значение n равно 10.
3. Убедимся, что при 
значение выражения 
также равно 
Действительно,
4. Общее решение заданного уравнения можно получить и так:
Поскольку синус и косинус любого аргумента по модулю не превосходит 1, то произведение синуса и косинуса двух аргументов будет равно 1 только в двух случаях: либо каждый из них одновременно обращаются в 1, либо они обращаются в –1. Поэтому нам предстоит рассмотреть две системы:
Рассмотрим первую из них.
Однако, должно выполняться условие: 
Решим это уравнение относительно 
Потребуем, чтобы слагаемое 
было целым положительным и обозначим его Тогда 
Таким образом,
Теперь рассмотрим вторую систему:
Проверим выполнение равенства 
Оно равносильно цепочке следующих равенств:
Но последнее неравенство невозможно ни при каких целых n и k, так как 
есть число нечетное, тогда как 
— число
несовместна.
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б) 
куба 
провели перпендикуляры из середин ребер AB и AD. Найдите угол между этими перпендикулярами.
О — центр куба, точки К и N — середины рёбер AD и AВ соответственно. 
треугольник A1NC равнобедренный, его медиана NO является высотой, поэтому NО — перпендикуляр к AС. Аналогично KO перпендикуляр к АС. 
то последнее неравенство равносильно неравенству 
откуда 
С учетом ограничений на x получим: 
и на 
при таких 
т. е. 
для таких 
на множестве 
будем считать равносильным, поскольку умножение обеих частей этого неравенства на положительное выражение 
приводит к равносильному неравенству 
— прямоугольный, с гипотенузой АВ. В таком случае АВ — диаметр окружности S. Значит, радиус этой окружности 
— центры искомых окружностей, лежат на прямой OD. 
где l — длина хорды, в нашем случае l = АС = 12. 
Итак, АС и диаметр окружности S — две хорды этой же окружности, пересекающиеся в точке D. Для них выполнимо: 
или 
На количество решений это не повлияет: 
Перенося и возводя в квадрат, получим
и отрицательное число. 
откуда 
но единственный корень отрицателен;
второй корень отрицателен.
и t на 
получим такое же уравнение с отрицательным 
и 
По условию 
Вычтем из второго равенства первое. Получим:
Упростив, получаем: 
(так как 
— это цифры и 
). Переберём 9 вариантов: