ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 505929 Добавить в вариант

В десятичной записи положительного числа поменяли местами цифры, стоящие на первом и третьем местах после запятой. При этом число увеличилось в 13 раз.

а)  Какая цифра стояла на третьем месте после запятой в исходном числе?

б)  Какое число получилось?

Спрятать решение

Решение.

Для начала заметим, что целая часть нашего числа (обозначим его за x) должна быть равна нулю, иначе оно не может измениться в 13 раз при перемене местами цифр в дробной части. Значит, число можно записать так: $x=0,\overlinea_1a_2a_3\ldots a_n.$ По условию $13x=0,\overlinea_3a_2a_1\ldots a_n.$ Вычтем из второго равенства первое. Получим:

$12x=0,1a_3 минус 0,001a_3 минус 0,1a_1 плюс 0,001a_1$ Упростив, получаем: $x= дробь: числитель: 0,099 левая круглая скобка a_3 минус a_1 правая круглая скобка , знаменатель: 12 конец дроби =0,00825 левая круглая скобка a_3 минус a_1 правая круглая скобка .$

Ясно, что $1 меньше или равно a_3 минус a_1\leqslant9.$ (так как $a_3,a_1$   — это цифры и $x больше 0$ ). Переберём 9 вариантов:

$a_3 минус a_1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
x	0,00825	0,0165	0,02475	0,033	0,04125	0,0495	0,05775	0,066	0,07425

Непосредственной проверкой убеждаемся, что подходит только число 0,05775. При перестановке первой и третьей цифр после запятой оно превращается в число 0,75075, увеличиваясь в 13 раз.

Ответ: а)7; б) 0,75075.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 14

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь