PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 505912 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
Дано уравнение 
а) Решите уравнение;
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. a) Решим уравнение:
б) 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 505912
а) б)
б) 
с ребром 1 на ребре 
и 
выбраны точки K и M соответственно так, что 
а 
Найти расстояние между прямыми 
и 
Оси координат направлены, как показано на рисунке. 
Для этого в плоскости 
из точки K провести прямую, параллельную 
поскольку 
Соединим 
с точками K и 
отрезками. 
или 
Заметим, что левая часть неравенства положительна (равенство нулю мы уже рассмотрели выше). Следовательно, правая часть также обязана быть положительной. Но это условие выполнимо лишь при 
Найдем значения x, при которых выполняется условие 
Оно истинно при значениях переменной, удовлетворяющих совокупности неравенств: 
и 
Поскольку мы ищем только те значения x, которые больше −2, то в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь тех значений переменной, которые больше 3. При этом, мы вправе обе части неравенства 
разделить на 
В результате получим: 
Решим это неравенство на 
Возможны три варианта.
или 
что невозможно в равнобедренном треугольнике.
или 
откуда углы треугольника равны 30°, 30°, 120°.
В этом случае треугольник является равнобедренным прямоугольным, а высота, проведенная к боковой стороне, является боковой стороной и равна 2.
Заметим, что 
является решением этого неравенства, а при всех прочих x неравенство можно сократить на положительное число 
Получим
множество решений неравенства представляет собой объединение нескольких отрезков и точек. Поскольку мы хотим после объединения с точкой 
Возможны два случая.
Тогда точка 
является корнем уравнения 
Нетрудно видеть, что этого не происходит ни при каком a.
где числа t, 
являются корнями уравнения
Получаем систему
Заметим, что множество решений неравенства 
отличается от нашего только (возможно) наличием точки 
Это означает, что точка 
и так входит в множество решений неравенства 
Преобразуя его, получаем 
Корни этого уравнения равны 
(всегда корень) и 
(возможно, посторонний корень). Поэтому множество решений неравенства должно быть отрезком от одной из точек 
до другой и содержать точку 
на самом деле подходить не должна. Поскольку один из концов отрезка должен совпадать с числом 
или 
а длина отрезка равна 
имеем 
Докажем, что такие a подходят. 
имеем неравенство 
именно с таким множеством решений.
поэтому корень 
функция 
возрастает, а функция 
убывает. Поскольку в точке 
Тогда оно равно 
Найдём сумму исходного и изменённого чисел:
Тогда его можно записать в виде 
где k — натуральное пятизначное число. Тогда сумму исходного числа и измененного числа из равенства (1) можно записать так: 
Рассмотрим уравнение: 
Пусть 
тогда 
Значит, число 891880 могло получиться. Аналогично получаем уравнение 
Пусть 
Значит, число 891891 могло получиться.