Найдите все значения параметра a, при которых решением неравенства
является отрезок длиной 0,5.
ОДЗ неравенства 
Заметим, что 
является решением этого неравенства, а при всех прочих x неравенство можно сократить на положительное число 
Получим
Поскольку обе функции (в правой и левой частях) непрерывны на отрезке 
множество решений неравенства представляет собой объединение нескольких отрезков и точек. Поскольку мы хотим после объединения с точкой получить ровно один отрезок длиной 0,5, то и до объединения есть ровно один отрезок длиной 0,5, содержащий точку 
Возможны два случая.
Случай 1. Множество решений — отрезок 
Тогда точка 
является корнем уравнения 
Нетрудно видеть, что этого не происходит ни при каком a.
Случай 2. Множество решений — отрезок вида 
где числа t, 
являются корнями уравнения
Получаем систему
Вычитая уравнения, находим 
Приведём другое решение.
ОДЗ неравенства — отрезок 
Перепишем неравенство в виде 
Функция в левой части непрерывна. Поэтому множество решений неравенства - объединение нескольких отрезков и точек (точки и концы отрезка - корни функции). Нам нужно, чтобы это множество было одним отрезком длины 
Заметим, что множество решений неравенства 
отличается от нашего только (возможно) наличием точки 
Это означает, что точка 
и так входит в множество решений неравенства (иначе получится изолированная точка среди решений исходного неравенства).
Решим теперь уравнение 
Преобразуя его, получаем 
Корни этого уравнения равны 
(всегда корень) и 
(возможно, посторонний корень). Поэтому множество решений неравенства должно быть отрезком от одной из точек 
до другой и содержать точку Значит, точка 
на самом деле подходить не должна. Поскольку один из концов отрезка должен совпадать с числом 
или 
а длина отрезка равна возможен только вариант, когда это отрезок 
При 
имеем 
Докажем, что такие a подходят.
При 
имеем неравенство 
именно с таким множеством решений.
Заметим, что 
поэтому корень был посторонним и на всем промежутке нет других корней функции и поэтому неравенство выполнено на всем промежутке
При 
функция 
возрастает, а функция 
убывает. Поскольку в точке значения функций равны, до этой точки неравенство не выполнялось.
Ответ: 