Ре­ше­ние. а)  Решим урав­не­ние:

б)  

За­ме­ча­ния.

1.  В ре­ше­нии за­дан­но­го урав­не­ния при пе­ре­хо­де от урав­не­ния к си­сте­ме мы учли огра­ни­че­ния на зна­че­ния пе­ре­мен­ной У не­до­ста­точ­но опыт­но­го уче­ни­ка может воз­ник­нуть во­прос: а по­че­му при этом мы не учи­ты­ва­ем еще од­но­го усло­вия: От­ве­тим на этот во­прос так: в этом нет ни­ка­кой на­доб­но­сти. Во-пер­вых, усло­вие уже обес­пе­чи­ва­ет не­от­ри­ца­тель­ность левой части урав­не­ния. по­сколь­ку это так, то при даль­ней­ших пре­об­ра­зо­ва­ни­ях урав­не­ния будет обес­пе­че­на не­от­ри­ца­тель­ность и пра­вой части этого же урав­не­ния. Во-вто­рых, при не­от­ри­ца­тель­ных зна­че­ни­ях пра­вой части будет вы­пол­не­на и не­от­ри­ца­тель­ность вы­ра­же­ния Вклю­че­ние в си­сте­му обоих усло­вий: и при­ве­ло бы к не­оправ­дан­но­му услож­не­нию са­мо­го про­цес­са ре­ше­ния.

2.  Пре­об­ра­зо­ва­ние урав­не­ния в урав­не­ние про­из­ве­де­но с целью даль­ней­ше­го его пре­об­ра­зо­ва­ния в квад­рат­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но вы­ра­же­ние мы за­ме­ним вы­ра­же­ни­ем

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Ре­ше­ние:

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем:

Оче­вид­но, что

Для по­лу­че­ния ис­ко­мо­го рас­сто­я­ния вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом пло­ща­дей. Най­дем пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка Для этого вы­чис­лим вы­со­ту этого тре­уголь­ни­ка h, опу­щен­ную на ос­но­ва­ние

Это с одной сто­ро­ны. Но с дру­гой же сто­ро­ны

Сле­до­ва­тель­но,

Ответ: 6.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим пер­вое не­ра­вен­ство. Найдём огра­ни­че­ния на Та­ко­вы­ми будут:

Про­ло­га­риф­ми­ру­ем обе части не­ра­вен­ства по ос­но­ва­нию 2. По­лу­чим:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Ре­ше­ния этого не­ра­вен­ства по­лу­чим ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

Ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства:

Пе­ре­се­кая ре­ше­ния обоих не­ра­венств, будем иметь:

Ответ:

Ре­ше­ние. По­сколь­ку тра­пе­ция впи­са­на в окруж­ность, она рав­но­бед­рен­ная.

От­ме­тим на дуге AD точку так, чтобы Тогда тре­уголь­ни­ки и DCB равны по двум сто­ро­нам и углу между ними. Ра­вен­ство углов сле­ду­ет из ра­вен­ства дуг стя­ги­ва­е­мых рав­ны­ми хор­да­ми. Тогда равны дуги и а зна­чит, равны и опи­ра­ю­щи­е­ся на них впи­сан­ные углы.

Зна­чит, При этом точка не сов­па­да­ет с точ­кой D, по­сколь­ку Зна­чит, точка сов­па­да­ет с точ­кой K (по­сколь­ку из точки B в окруж­но­сти можно про­ве­сти не более двух хорд дан­ной длины). Тогда

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Сде­ла­ем за­ме­ну Оче­вид­но, каж­до­му y со­от­вет­ству­ет ровно одно t, и каж­до­му не­от­ри­ца­тель­но­му t со­от­вет­ству­ет ровно одно зна­че­ние y, а имен­но По­это­му нас будет ин­те­ре­со­вать ко­ли­че­ство ре­ше­ний си­сте­мы

при не­от­ри­ца­тель­ных t.

За­ме­тим, что функ­ция при­ни­ма­ет по два раза зна­че­ния на про­ме­жут­ке один раз при­ни­ма­ет зна­че­ние 1 и не при­ни­ма­ет дру­гих не­от­ри­ца­тель­ных зна­че­ний.

По­это­му нужно, чтобы на­шлось два раз­лич­ных для ре­ше­ний этой си­сте­мы (каж­до­му из них мы потом со­по­ста­вим два раз­лич­ных зна­че­ния x. Иными сло­ва­ми, урав­не­ние имеет два корня на Его корни  — и они оба по­па­да­ют на нуж­ный про­ме­жу­ток при При эти корни равны. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем ответ.

Ответ:

Ре­ше­ние. Сразу за­ме­тим, что Кроме того, так как для всех Из усло­вия сле­ду­ет, что где   — на­ту­раль­ные. Пе­ре­пи­шем иначе: или

Так как по­лу­ча­ем, что До­ка­жем, что В самом деле, раз­де­лим обе части ра­вен­ства (1) на по­лу­ча­ет­ся, что Левая часть  — целое число, зна­чит, и пра­вая часть  — целое число. Зна­чит, Те­перь, за­ме­тим, что   — нечётное число, а зна­чит, из ра­вен­ства (1), тоже нечётно. Зна­чит, n нечётно. Пусть Тогда по­лу­ча­ем, что То есть, дробь яв­ля­ет­ся целым чис­лом. Вы­де­лим целую часть: не под­хо­дит,   — го­дит­ся, а при по­лу­ча­ем, что Таким об­ра­зом, дробь яв­ля­ет­ся целым чис­лом лишь при От­сю­да

Ответ: 5.