Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 505879

В системе координат задана точка M (x; y), x > 0, y > 0. Дана окружность с центром в точке M радиуса r, причем любая точка окружности имеет положительные координаты. Прямая, проходящая через точку O (0; 0) и через точку M, пересекает окружность в точках K и P, причем ордината точки K меньше, чем ордината точки P. Прямая, которая касается окружности в точке K, пересекает прямые x = 0 и y = 0 в точках A и B.

Найдите площадь треугольника OKB.

Решение.

Треугольник OKB является прямоугольным (OK\perp KB), поэтому для поиска его площади достаточно найти его катеты:

OK = OM минус KM = корень из { x в степени 2 плюс y в степени 2 } минус r.

1) В случае, если точка A лежит на оси OY, B на оси OX, получим:

 тангенс \angle KOB = дробь, числитель — y, знаменатель — x \RightarrowKB = OK тангенс \angle KOB = дробь, числитель — y, знаменатель — x левая круглая скобка корень из { x в степени 2 плюс y в степени 2 } минус r правая круглая скобка .

Тогда S_{OKB} = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 OK умножить на KB = дробь, числитель — y левая круглая скобка корень из { x в степени 2 плюс y в степени 2 } минус r правая круглая скобка в степени 2 , знаменатель — 2x .

 

2) В случае, если точка A лежит на оси OX, B на оси OY (рисунок не приведен), получим:

 тангенс \angle KOB = дробь, числитель — x, знаменатель — y \RightarrowKB = OK тангенс \angle KOB = дробь, числитель — x, знаменатель — y левая круглая скобка корень из { x в степени 2 плюс y в степени 2 } минус r правая круглая скобка .

 

Тогда S_{OKB} = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 OK умножить на KB = дробь, числитель — x левая круглая скобка корень из { x в степени 2 плюс y в степени 2 } минус r правая круглая скобка в степени 2 , знаменатель — 2y .

 

Ответ:S_{OKB}= дробь, числитель — y левая круглая скобка корень из { x в степени 2 плюс y в степени 2 } минус r правая круглая скобка в степени 2 , знаменатель — 2x или S_{OKB}= дробь, числитель — x левая круглая скобка корень из { x в степени 2 плюс y в степени 2 } минус r правая круглая скобка в степени 2 , знаменатель — 2y .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 6.
Методы геометрии: Метод координат
Классификатор планиметрии: Окружности