Ре­ше­ние. a)  

По тео­ре­ме Виета по­лу­чим: От­сю­да:

б)  Ясно, что для серии кор­ней т. е. Не­труд­но также по­нять, что для серии кор­ней вида

Тогда по­лу­чим:

Для серии кор­ней вида

Зна­чит,

Ответ: а) б)

За­ме­ча­ние.

Отбор ис­ко­мых кор­ней в части б) с по­мо­щью двой­ных не­ра­венств в дан­ном слу­чае за­труд­ни­те­лен.

Ре­ше­ние. Со­еди­ним точку с точ­ка­ми K и C от­рез­ка­ми. Из точки про­ве­дем пер­пен­ди­ку­ляр к KC, ос­но­ва­ние ко­то­ро­го обо­зна­чим

В де­кар­то­вой си­сте­ме ко­ор­ди­нат, где (ось x  — на­прав­ле­на по AB, ось   — по ось z  — по ) най­дем ко­ор­ди­на­ты не­ко­то­рых точек:

Най­дем длины от­рез­ков

Пусть Тогда а это зна­чит, что

Решим эту же за­да­чу эле­мен­тар­но-гео­мет­ри­че­ским ме­то­дом.

До­пол­ни­тель­но со­еди­ним точки B и K от­рез­ком. За­ме­тим, что так как Зна­чит,

Пусть Тогда А это зна­чит, что

Ответ: 1.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку левая часть пер­во­го не­ра­вен­ства пред­став­ля­ет из себя ариф­ме­ти­че­ский квад­рат­ный ко­рень, то пра­вая его часть обя­за­на быть не­от­ри­ца­тель­ной, т. е. долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие что рав­но­силь­но це­поч­ке не­ра­венств По­след­нее не­ра­вен­ство вы­пол­ни­мо толь­ко при

Вы­чис­лим зна­че­ние под­ко­рен­но­го вы­ра­же­ния, что в левой части пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы, при По­лу­чим: Но зна­че­ние для этого вы­ра­же­ния ока­за­лось не­до­пу­сти­мым. Сле­до­ва­тель­но, пер­вое не­ра­вен­ство за­дан­ной си­сте­мы ре­ше­ний не имеет. Тогда и ис­ход­ная си­сте­ма ре­ше­ний иметь не будет.

Ответ: си­сте­ма ре­ше­ний не имеет.

Ре­ше­ние. Оче­вид­но, что точки лежат на одной пря­мой. Обо­зна­чим за R ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти. Тогда

по­это­му

Те­перь за­ме­тим, что тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный (кроме слу­чая, когда K сов­па­да­ет с что воз­мож­но если окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом, а их ра­ди­у­сы от­ли­ча­ют­ся вдвое, но тогда и по­лу­чен­ная в итоге фор­му­ла все равно верна). Из тео­ре­мы Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем от­ку­да

Ответ:

При­ме­ча­ние. Окруж­но­сти могут ка­сать­ся внут­рен­ним или внеш­ним об­ра­зом, на при­ве­ден­ное ре­ше­ние это не вли­я­ет.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

Для вы­пол­не­ния утвер­жде­ния за­да­чи тре­бу­ет­ся и

Ответ

Ре­ше­ние. а)  Пусть в каж­дом Ле­ни­ном на­бо­ре l ручек, а у Юли u на­бо­ров. Тогда по­лу­ча­ем урав­не­ние: По усло­вию у Лены не­чет­ное число ручек, зна­чит, не­чет­но, и, со­от­вет­ствен­но, l не­чет­но. За­ме­тим, что зна­чит, l де­лит­ся на 5. Кроме того, Зна­чит, оста­лось пе­ре­брать такие слу­чаи: Тогда со­от­вет­ствен­но,

б)  Ис­поль­зуя те же обо­зна­че­ния, по­лу­ча­ем урав­не­ние: До­ста­точ­но по­до­брать целые корни, боль­шие еди­ни­цы. На­при­мер, под­хо­дят числа

в)  Те­перь по­лу­ча­ем урав­не­ние: или До­ка­жем, что для лю­бо­го це­ло­го най­дут­ся целые корни боль­шие еди­ни­цы.

Раз­бе­рем не­сколь­ко слу­ча­ев. Пусть k де­лит­ся на 5. Тогда можно взять и ясно, что под­хо­дя­щее u най­дет­ся. Пусть k дает оста­ток 1 или 4 при де­ле­нии на 5. Тогда дает оста­ток 1 при де­ле­нии на 5. Далее возь­мем l, да­ю­щее оста­ток 2 при де­ле­нии на 5. Тогда де­лит­ся на 5, и нуж­ное u су­ще­ству­ет. Пусть k дает оста­ток 2 или 3 при де­ле­нии на 5. Тогда дает оста­ток 4 при де­ле­нии на 5. Далее возь­мем l, да­ю­щее оста­ток 3 при де­ле­нии на 5. Тогда де­лит­ся на 5, и нуж­ное u су­ще­ству­ет.

Ответ: а)  18, 12, 6; б)  да; в)  да.