Две окружности касаются в точке O, причем радиус окружности с центром в точке O' больше, чем радиус окружности с центром в точке O''. Прямая O'O'' пересекает меньшую окружность в точке K (K отлично от O). Отрезок O'K = a. Прямая t касается большей окружности в точке P так, что угол O''O'P — прямой. Отрезок PK = b. Найдите площадь треугольника OO'P.
Очевидно, что точки 
лежат на одной прямой. Обозначим за R радиус большей окружности. Тогда
поэтому 
Теперь заметим, что треугольник 
прямоугольный (кроме случая, когда K совпадает с 
что возможно если окружности касаются внутренним образом, а их радиусы отличаются вдвое, но тогда 
и полученная в итоге формула все равно верна). Из теоремы Пифагора получаем 
откуда 
Ответ: 
Примечание. Окружности могут касаться внутренним или внешним образом, на приведенное решение это не влияет.