а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. а) Найдем ограничения на 
Преобразуем левую часть уравнения:
Итак, 
Для разрешенных значений x далее будем иметь:
Однако из полученных серий решений следует исключить числа вида 
Таким образом, решения заданного уравнения – числа вида 
за исключением чисел вида 
где 
б) Выборку корней будем осуществлять путем перебора целых значений 
Из серии корней отличных от 
Чтобы найти наименьший искомый корень из этой серии решим неравенство 
в целых числах. Получим: 
Отсюда ясно, что искомый наименьший корень вычисляется по формуле 
при 
Далее, каждый следующий корень получим путем прибавления к нему числа 
Результаты будем заносить в таблицу. Посторонние корни по ходу будем отсеивать, учитывая условие 
Аналогично найдем корни из серии отличные от 
Таким образом, мы нашли 42 корня, принадлежащие заданному отрезку.
Замечание.
Запись множества корней заданного уравнения может выглядеть так: 
Ответ: а) 
за исключением чисел вида где б) всего 42 корня (см. таблицу).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
за исключением чисел вида где б) всего 42 корня (см. таблицу). за исключением чисел вида где б) всего 42 корня (см. таблицу).
— четырехугольная пирамида с вершиной A и прямоугольной трапецией в основании. Найдем ее объем.
Значит, 
откуда 
и 
Пусть центры окружностей имеют координаты 
и 
тогда 
и 
а их радиусы — a и 
Центр большой окружности имеет координаты 
Пусть центр окружности, касающейся правой полуокружности, имеет координаты 
и радиус r (она касается вертикальной оси). Запишем условия касания с окружностями (расстояние между центрами равно сумме или разности радиусов)
и 
получаем 
то есть 
и 
Из формулы, полученной в первом пункте, имеем 
найдутся два числа, разность которых равна 1.
получаем 
можно взять просто 
Тогда 
поэтому выбирать точки надо на одном отрезке. Очевидно, такие точки есть в том и только том случае, когда длина отрезка больше 1. Будем рассматривать первый отрезок, у второго длина такая же.
