На диаметре AB полукруга взята точка С и в полукруге на отрезках AC и CB как на диаметрах построены два полукруга. Из точки C восставлен препендикуляр к AB и с обеих сторон от него построены два круга, касающиеся как этого перпендикуляра, так и обоих полукругов.
а) Докажите, что радиусы построенных кругов равны.
б) Найдите их радиусы, если AB = 12 и AC : CD = 1 : 3.
а) Введем координаты — направим ось y по перпендикуляру к AB, а ось x — по 
Пусть центры окружностей имеют координаты 
и 
тогда 
и 
а их радиусы — a и 
Центр большой окружности имеет координаты 
Пусть центр окружности, касающейся правой полуокружности, имеет координаты 
и радиус r (она касается вертикальной оси). Запишем условия касания с окружностями (расстояние между центрами равно сумме или разности радиусов)
и 
Возводя последнее в квадрат, получаем 
Возводя первое в квадрат и подставляя 
получаем 
то есть 
Очевидно, если поменять местами в формуле a и b, ответ не изменится, но станет также ответом для картинки, отраженной относительно вертикальной оси. Поэтому два указанных радиуса равны.
б) Радиусы окружностей составят 
и 
Из формулы, полученной в первом пункте, имеем
Ответ: 