Ре­ше­ние. а)   Огра­ни­че­ния на (I и IV чет­вер­ти). При этих зна­че­ни­ях

1)  Пусть (I чет­верть). Тогда а также:

2)  Пусть (IV чет­верть). Тогда а также:

Таким об­ра­зом, мно­же­ство ре­ше­ний ис­ход­но­го урав­не­ния:

б)  Не­труд­но по­нять, что усло­вию б) удо­вле­тво­ря­ют лишь два корня:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Будем счи­тать, что ребро ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равно 6. Тогда вы­со­та ос­но­ва­ния равна по­это­му ее равны и это рано вы­со­те пи­ра­ми­ды (сле­ду­ет из на­кло­на бо­ко­во­го ребра). Те­перь вве­дем ко­ор­ди­на­ты с на­ча­лом в A, осью x вдоль AB и осью z па­рал­лель­ной вы­со­те пи­ра­ми­ды. Тогда

Плос­кость ADC имеет урав­не­ние Обо­зна­чим ра­ди­ус впи­сан­но­го шара за r, а его центр за При­рав­ня­ем рас­сто­я­ния от I до ADC и ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, по­лу­чим от­ку­да

Пусть O  — центр боль­шо­го шара, R  — его ра­ди­ус. Тогда ко­ор­ди­на­ты цен­тра

Пусть M  — ос­но­ва­ние вы­со­ты пи­ра­ми­ды. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ную тра­пе­цию OIMA, в ко­то­рой Опу­стим вы­со­ту из I на OA и на­пи­шем тео­ре­му Пи­фа­го­ра от­ку­да

Оче­вид­но, плос­кость пе­ре­се­ка­ет­ся с плос­ко­стью ос­но­ва­ния по BD, при­чем от­ку­да и По­это­му

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Найдём огра­ни­че­ния на

Для таких

По ос­нов­но­му ло­га­риф­ми­че­ско­му тож­де­ству будем иметь: Далее:

По­след­нее не­ра­вен­ство спра­вед­ли­во лишь при Таким об­ра­зом, мно­же­ство ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы Те­перь рас­смот­рим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы на мно­же­стве ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства. Легко за­ме­тить, что при вы­пол­не­нии усло­вия также вы­пол­ня­ют­ся не­ра­вен­ства:

Далее вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ра­ци­о­на­ли­за­ции. Имеем:

Для всех также вы­пол­ня­ют­ся не­ра­вен­ства: В таком слу­чае:

Итак, ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы  — мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чим центр окруж­но­сти за O, а точки ка­са­ния окруж­но­сти со сто­ро­на­ми B и C за K и L со­от­вет­ствен­но. Оче­вид­но BO  — бис­сек­три­са угла ABC. Пусть Тогда

По свой­ству бис­сек­три­сы

От­сю­да тре­уголь­ни­ки OKB и OLB рав­но­бед­рен­ные, по­это­му

б)  Длину этой вы­со­ты можно найти по фор­му­ле

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем не­ра­вен­ство.

Дис­кри­ми­нант чис­ли­те­ля равен по­это­му чис­ли­тель все­гда имеет корни.

Раз­бе­рем два слу­чая.

1)   яв­ля­ет­ся кор­нем чис­ли­те­ля. То есть

Тогда решая не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов, мы от­ме­тим точку (она будет вы­ко­ло­та и в ней не будет ме­нять­ся знак), и вто­рой ко­рень урав­не­ния в чис­ли­те­ле (он, оче­вид­но, равен и в нем знак ме­нять­ся будет). При боль­ших x вы­ра­же­ние оче­вид­но по­ло­жи­тель­но, по­это­му нужно толь­ко, чтобы было не­по­ло­жи­тель­но. Это верно при и не­вер­но при Итак, под­хо­дит

2)   не яв­ля­ет­ся кор­нем чис­ли­те­ля. Тогда решая не­ра­вен­ство ме­то­дом ин­тер­ва­лов, мы от­ме­тим точку и корни чис­ли­те­ля (они есть). При боль­ших x вы­ра­же­ние оче­вид­но по­ло­жи­тель­но, по­это­му нужно толь­ко, чтобы все от­ме­чен­ные точки (в них про­ис­хо­дит смена знака) были не­по­ло­жи­тель­ны. Для этого нужно, чтобы сумма кор­ней чис­ли­те­ля была не­по­ло­жи­тель­на, а про­из­ве­де­ние кор­ней чис­ли­те­ля было не­от­ри­ца­тель­но. То есть что не­воз­мож­но.

Ответ:

Ре­ше­ние. Вы­пи­шем все дву­знач­ные числа, де­ля­щи­е­ся на 17 или 23. Это 17, 34, 51, 68, 85, 23, 46, 69, 92. У всех этих чисел по­след­ние цифры раз­лич­ны, зна­чит, ис­ко­мое число мы смо­жем вос­ста­но­вить од­но­знач­но. По­след­няя цифра 1, зна­чит, со­от­вет­ству­ю­щее дву­знач­ное чисто 51, т. е. преды­ду­щая цифра в числе 5. Эта цифра 5 со­от­вет­ству­ет дву­знач­но­му числу 85, сле­до­ва­тель­но, перед ней стоит цифра 8. Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, по­лу­чим ряд из де­вя­ти по­след­них цифр числа: 692346851. Набор 92346 будет те­перь всё время по­вто­рять­ся. Всего же цифр 1992, в том числе: 3 по­след­ние, 5 цифр из пе­ри­о­да, встре­ча­ю­щи­е­ся 397 раз, и ещё 4 цифры  — по­след­ние 4 цифры пе­ри­о­да, они же  — пер­вые 4 цифры числа. Таким об­ра­зом, пер­вая цифра ис­ко­мо­го числа 2.

Най­дем сумму цифр этого числа:

Это число не де­лит­ся на 3, зна­чит, и дан­ное в усло­вии число не де­лит­ся на 3.

Ответ: а) нет; б) 2.