Ре­ше­ние. а)  Пусть тогда урав­не­ние будет иметь вид:

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной

б)  Най­дем ис­ко­мые корни. Ясно, что со­от­вет­ствен­но

Если то если то

До­ка­жем, что

До­ка­жем это:

По­сколь­ку то оче­вид­но, что

Корни при n будут боль­ши­ми, чем 1. Сле­до­ва­тель­но, при таких зна­че­ни­ях n по­ис­ки кор­ней не имеют смыс­ла.

Если то До­ка­жем:

Выше было до­ка­за­но, что зна­чит, Ис­тин­ность не­ра­вен­ства сле­ду­ет из ис­тин­но­сти выше до­ка­зан­но­го не­ра­вен­ства Ис­тин­ность не­ра­вен­ства сле­ду­ет из ис­тин­но­сти не­ра­вен­ства также до­ка­зан­ной выше. При корни будут мень­ши­ми, чем −1, сле­до­ва­тель­но, при таких зна­че­ни­ях n по­ис­ки кор­ней не имеют смыс­ла.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние.

Пусть длина бо­ко­во­го ребра пи­ра­ми­ды равна x, а плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет ребро CD в точке H. По усло­вию

Пусть M  — се­ре­ди­на AB. Тогда (по­сколь­ку про­ек­ция SC на плос­кость ос­но­ва­ния  — пря­мая CM, пер­пен­ди­ку­ляр­ная AB, то и про­ек­ция OH  — пря­мая CM, пер­пен­ди­ку­ляр­ная AB). Зна­чит,

Рас­смот­рим тре­уголь­ник MCS. В нем Кроме того, вы­со­та пи­ра­ми­ды

Вы­чис­ляя двумя спо­со­ба­ми пло­щадь тре­уголь­ни­ка MCS, имеем:

Ответ: 8.

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое не­ра­вен­ство:

Пусть тогда за­дан­ное не­ра­вен­ство будет иметь вид: Из­вест­но, что для любых дей­стви­тель­ных чисел a и b вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство тре­уголь­ни­ка: Сле­до­ва­тель­но, в нашем слу­чае рас­смат­ри­ва­е­мое не­ра­вен­ство будет иметь место толь­ко в том слу­чае, если вы­пол­ня­ет­ся ра­вен­ство Но такое воз­мож­но, при одном усло­вии: либо a и b оба не­от­ри­ца­тель­ны, либо оба не­по­ло­жи­тель­ны, т. е. спра­вед­ли­во не­ра­вен­ство

Решим не­ра­вен­ство

Итак, ре­ше­ни­я­ми пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ют­ся эле­мен­ты мно­же­ства

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Пе­рей­дем в ло­га­риф­мах к ос­но­ва­нию 2.

Таким об­ра­зом, ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы – мно­же­ство

Най­дем пе­ре­се­че­ние ре­ше­ний обоих не­ра­венств. Но пре­жде до­ка­жем не­ра­вен­ство

Для до­ка­за­тель­ства не­ра­вен­ства до­ста­точ­но по­ка­зать, что и

Зна­чит,

Итак, ре­ше­ния си­сте­мы  — мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке OCD от­ре­зок OE яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, сле­до­ва­тель­но, и вы­со­той. То есть От­ме­тим на про­дол­же­нии луча KC за точку C про­из­воль­ную точку L. Тогда тре­уголь­ник ACD также рав­но­бед­рен­ный, в нем ме­ди­а­на сов­па­да­ет с вы­со­той. Зна­чит, тогда и со­от­вет­ству­ю­щие дуги равны. Тогда по­сколь­ку один из них впи­сан­ный, опи­ра­ю­щий­ся на дугу AD, а вто­рой  — угол между ка­са­тель­ной и хор­дой, стя­ги­ва­ю­щей дугу AC.

За­ме­тим далее, что как со­от­вет­ствен­ные углы при пе­ре­се­че­нии па­рал­лель­ных пря­мых KB и CD (они обе пер­пен­ди­ку­ляр­ны AB) се­ку­щей KL. Кроме того KO  — бис­сек­три­са угла BKC, по­то­му что про­хо­дит через центр окруж­но­сти, а сто­ро­ны угла  — ка­са­тель­ные из одной точки. По­это­му от­ку­да пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки BKO и ECA по­доб­ны по двум углам.

б)  Ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5. Тогда Из тре­уголь­ни­ка OEC на­хо­дим Тогда

Тре­уголь­ни­ки BKA и EMA по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том от­ку­да

Ответ:

Ре­ше­ние. Возь­мем про­из­вод­ную этой функ­ции (она долж­на быть всюду по­ло­жи­тель­на):

Обо­зна­чим

Это не­ра­вен­ство долж­но вы­пол­нять­ся при всех t из от­рез­ка

Если то не­ра­вен­ство не вы­пол­ня­ет­ся, на­при­мер, при

Если то при всех t из от­рез­ка и по­это­му нужно, чтобы

Если то при всех t из от­рез­ка и по­это­му нужно, чтобы

Ответ: или

Ре­ше­ние. Рас­по­ло­жим числа в по­ряд­ке воз­рас­та­ния. Тогда оче­вид­но, что каж­дое число будет не мень­ше сво­е­го но­ме­ра. Най­дем сумму но­ме­ров всех чисел:

а)  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21;

б)  1 + 2 + … + 100 = 5050.

(По­след­нюю сумму можно по­счи­тать сле­ду­ю­щим спо­со­бом: (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51) = 50 · 101 = 5050.)

В обоих слу­ча­ях эта сумма на еди­ни­цу мень­ше суммы самих чисел. Зна­чит, одно число на еди­ни­цу боль­ше сво­е­го но­ме­ра, а осталь­ные  — равны ему. Чис­лом, боль­шим сво­е­го но­ме­ра, может быть толь­ко по­след­нее. Дей­стви­тель­но, если какое-то число боль­ше сво­е­го но­ме­ра, то все по­сле­ду­ю­щие числа тоже боль­ше сво­е­го но­ме­ра.

По­это­му ис­ко­мы­ми чис­ла­ми будут в пунк­те а) 1, 2, 3, 4, 5, 7; а в пунк­те б)  — 1, 2, …, 99, 101.