Диаметр AB и хорда CD окружности пересекаются в точке E, причём CE = DE. Касательные к окружности в точках B и C пересекаются в точке K. Отрезки AK и CE пересекаются в точке M.
а) Докажите подобие треугольников ACE и OKB, где O — центр данной окружности.
б) Найдите площадь треугольника CKM, если AB = 10, AE = 1.
а) В равнобедренном треугольнике OCD отрезок OE является медианой, следовательно, и высотой. То есть 
Отметим на продолжении луча KC за точку C произвольную точку L. Тогда треугольник ACD также равнобедренный, в нем медиана совпадает с высотой. Значит, 
тогда и соответствующие дуги равны. Тогда 
поскольку один из них вписанный, опирающийся на дугу AD, а второй — угол между касательной и хордой, стягивающей дугу AC.
Заметим далее, что 
как соответственные углы при пересечении параллельных прямых KB и CD (они обе перпендикулярны AB) секущей KL. Кроме того KO — биссектриса угла BKC, потому что проходит через центр окружности, а стороны угла — касательные из одной точки. Поэтому 
откуда прямоугольные треугольники BKO и ECA подобны по двум углам.
б) Радиус окружности равен 5. Тогда 
Из треугольника OEC находим 
Тогда 
Треугольники BKA и EMA подобны с коэффициентом 
откуда 
Ответ: 