Рас­по­ло­жим числа в по­ряд­ке воз­рас­та­ния. Тогда оче­вид­но, что каж­дое число будет не мень­ше сво­е­го но­ме­ра. Най­дем сумму но­ме­ров всех чисел:

а)  1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21;

б)  1 + 2 + … + 100 = 5050.

(По­след­нюю сумму можно по­счи­тать сле­ду­ю­щим спо­со­бом: (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51) = 50 · 101 = 5050.)

В обоих слу­ча­ях эта сумма на еди­ни­цу мень­ше суммы самих чисел. Зна­чит, одно число на еди­ни­цу боль­ше сво­е­го но­ме­ра, а осталь­ные  — равны ему. Чис­лом, боль­шим сво­е­го но­ме­ра, может быть толь­ко по­след­нее. Дей­стви­тель­но, если какое-то число боль­ше сво­е­го но­ме­ра, то все по­сле­ду­ю­щие числа тоже боль­ше сво­е­го но­ме­ра.

По­это­му ис­ко­мы­ми чис­ла­ми будут в пунк­те а) 1, 2, 3, 4, 5, 7; а в пунк­те б)  — 1, 2, …, 99, 101.