PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 505712 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. a) Последовательно получаем:
б) Выборка корней.
Из серии корней 
При 
Из серии корней 
При 
Из серии корней 
При 
при 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 505712
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла
— центр шара радиуса 1, 
— проекции 
на SBC, O — центр основания. Тогда точки 
лежат на одной прямой (они равноудалены от трех граней трехгранного угла) и треугольники 
и CIH подобны (по двум углам) с коэффициентом 
При этом 
(из-за касания шаров), откуда 
Тогда из прямоугольного треугольника CIO находим 
поэтому стороны основания равны 8.
и 
Для таких значений переменной будем иметь:
В таком случае первое неравенство системы будет иметь вид: 
— центр большой окружности, 
— центр маленькой. Заметим что 
откуда 
Тогда
откуда 
ровно три корня.
и получим квадратное относительно t уравнение 
На искомом интервале уравнение вида 
имеет либо 2 решения при 
либо одно при y=1 или -1, либо 3 решения при y=0. Таким образом, чтобы исходное уравнение имело 3 решения на данном отрезке, необходимо, чтобы одним из корней квадратного уравнения было число 1, 0 или -1. Заметим, что в случае 1 и -1, нам еще нужен второй корень из множества 
а в случае 0, нужно, чтобы других корней из множества 
у квадратного уравнения не было. Подставляя 0, 1 и -1 в квадратное уравнение, получим совокупность
Для каждого из трёх значений проверяем второй корень уравнения (если он есть) и получаем, что условиям задачи удовлетворяют только два значения: 
После проверки (с помощью теоремы Виета найдём второй корень) остаётся только одно значение 
и должен находиться в интервале (-1;1). Но в этом случае левая часть второго уравнения совокупности положительна при 
значит, решать второе уравнение не имеет смысла.
в которой при каждом k член последовательности xk является корнем уравнения 
Следовательно, формула общего члена последовательности имеет вид 
тогда число 
содержит в десятичной записи более семи цифр. Легко убедитьcя, что условию задачи удовлетворяет число 
то есть 
Для того, чтобы оно было наименьшим, оно не должно иметь других делителей, то есть это число 6561.
или 
Отсюда получаем равенство 
Последнее равенство возможно только при выполнении условий 
и 
(иначе правая часть равна 1, а левая делится на 3), что не удовлетворяет условию задачи.
Тогда любой набор содержит минимальное число, которое при суммировании можно вынести за скобки и получится выражение вида 
которое не является квадратом.