Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 505715
i

Про­дол­же­ние общей хорды AB двух пе­ре­се­ка­ю­щих­ся окруж­но­стей ра­ди­у­сов 8 и 2 пе­ре­се­ка­ет их общую ка­са­тель­ную в точке C, точка A лежит между B и C, а M и N  — точки ка­са­ния.

а)  До­ка­жи­те, что от­но­ше­ние рас­сто­я­ний от точки C до пря­мых AM и AN равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, про­хо­дя­щей через точки A, M и N.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть M  — точка ка­са­ния с боль­шей окруж­но­стью, O_1  — центр боль­шой окруж­но­сти, O_2  — центр ма­лень­кой. За­ме­тим что CM в квад­ра­те =CA умно­жить на CB=CN в квад­ра­те , от­ку­да CM=CN. Тогда

дробь: чис­ли­тель: d левая круг­лая скоб­ка C,MA пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: d левая круг­лая скоб­ка C,NA пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2S_MCA/MA, зна­ме­на­тель: 2S_NCA/NA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: S_MCA, зна­ме­на­тель: S_NCA конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: NA, зна­ме­на­тель: MA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: NA, зна­ме­на­тель: MA конец дроби =
= дробь: чис­ли­тель: синус NMA, зна­ме­на­тель: синус MNA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби MO_1A, зна­ме­на­тель: синус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби NO_2A конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби MA/MO_1, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби NA/NO_2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: MA, зна­ме­на­тель: 4NA конец дроби .

Итак дробь: чис­ли­тель: NA, зна­ме­на­тель: MA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: MA, зна­ме­на­тель: 4NA конец дроби , от­ку­да дробь: чис­ли­тель: d левая круг­лая скоб­ка C,MA пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: d левая круг­лая скоб­ка C,NA пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби =NA:MA=1:2.

 

б)  R_AMN= дробь: чис­ли­тель: MA, зна­ме­на­тель: 2 синус MNA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: MA, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби NA/NO_2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2AM, зна­ме­на­тель: AN конец дроби =4.

 

Ответ: 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 60
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025