Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д5 C1 № 505712

а) Решите уравнение (1 плюс 2 синус x) умножить на синус x= синус 2x плюс косинус x;

б) Найдите все корни на промежутке  левая квадратная скобка минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 ; Пи правая квадратная скобка .

Решение.

a) Последовательно получаем:

(1 плюс 2 синус x) умножить на синус x= синус 2x плюс косинус x равносильно

 

 равносильно синус x умножить на (1 плюс 2 синус x) минус косинус x минус 2 синус x умножить на косинус x=0 равносильно синус x умножить на (1 плюс 2 синус x) минус косинус x умножить на (1 плюс 2 синус x)=0 равносильно

 

 равносильно (1 плюс 2 синус x) умножить на ( синус x минус косинус x)=0 равносильно совокупность выражений  новая строка синус x= минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ,  новая строка синус x= косинус x конец совокупности . равносильно совокупность выражений  новая строка x= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ,  новая строка x= минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи n,n принадлежит Z ,  новая строка x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс Пи n,n принадлежит Z . конец совокупности .

б) Выборка корней.

Из серии корней  минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи n,n принадлежит Z :

 минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 меньше или равно минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи n меньше или равно Пи равносильно минус 9 меньше или равно минус 1 плюс 12n меньше или равно 6 равносильно минус 8 меньше или равно 12n меньше или равно 7 равносильно минус дробь, числитель — 2, знаменатель — 3 меньше или равно 12n меньше или равно дробь, числитель — 7, знаменатель — 12 равносильно n=0.

При n=0 {{x}_{1}}= минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 .

Из серии корней  минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи n,n принадлежит Z :

 минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 меньше или равно минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи n меньше или равно Пи равносильно минус 9 меньше или равно минус 5 плюс 12n меньше или равно 6 равносильно минус 4 меньше или равно 12n меньше или равно 11 равносильно минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 меньше или равно 12n меньше или равно дробь, числитель — 11, знаменатель — 12 равносильно n=0.

При n=0 {{x}_{2}}= минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 .

 

Из серии корней  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс Пи n,n принадлежит Z :

 минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 2 меньше или равно дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс Пи n меньше или равно Пи равносильно минус 6 меньше или равно 1 плюс 4n меньше или равно 4 равносильно минус 7 меньше или равно 4n меньше или равно 3 равносильно минус дробь, числитель — 7, знаменатель — 4 меньше или равно n меньше или равно дробь, числитель — 3, знаменатель — 4 равносильно совокупность выражений  новая строка n= минус 1,  новая строка n=0. конец совокупности .

При n= минус 1 {{x}_{3}}= минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 ; при n=0{{x}_{4}}= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 .

 

Ответ: а)  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 плюс Пи n,n принадлежит Z ;{{( минус 1)} в степени n плюс 1 } дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс Пи n,n принадлежит Z . б)  минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 ; минус дробь, числитель — 3 Пи , знаменатель — 4 ; минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 ; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 4 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 60.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка, Формулы двойного угла