Ре­ше­ние. a)   Пре­об­ра­зу­ем за­дан­ное урав­не­ние.

б)  Ясно, что от­рез­ку при­над­ле­жит един­ствен­ный ко­рень урав­не­ния:

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. По­стро­им сна­ча­ла се­че­ние пи­ра­ми­ды этой плос­ко­стью. Для этого про­ве­дем в гра­нях SAC и SBC пря­мые, па­рал­лель­ные SC и про­хо­дя­щие через точки D и E. Пусть они пе­ре­се­ка­ют AC и BC в точ­ках G и F со­от­вет­ствен­но. Тогда DEFG  — ис­ко­мое се­че­ние. Из па­рал­лель­но­сти, кроме того, сле­ду­ет, что Най­дем те­перь объем одной из ча­стей, вы­ра­зив его через объем всей пи­ра­ми­ды:

По­это­му от­но­ше­ние объ­е­мов равно 7 : 20.

Ответ: 7 : 20.

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Итак, ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы  — мно­же­ство

Те­перь решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы: Пе­ре­се­че­ние ре­ше­ний обоих не­ра­венств си­сте­мы есть мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По свой­ству угла между ка­са­тель­ной и хор­дой по­это­му че­ты­рех­уголь­ник AECD  — впи­сан­ная тра­пе­ция, сле­до­ва­тель­но, углы ADC и EAD равны, также из па­рал­лель­но­сти. Таким об­ра­зом, и сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки ACD и ABE по­доб­ны по двум углам. Что тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков ABE и ACD (п. а) сле­ду­ет, что а зна­чит, BA  — ка­са­тель­ная к окруж­но­сти AECD. Тогда

от­ку­да на­хо­дим

Ответ: б) 18.

Ре­ше­ние. Пе­рей­дем к рав­но­силь­ной си­сте­ме:

Про­ве­рим, удо­вле­тво­ря­ют ли по­лу­чен­ные корни усло­вию

Рас­смот­рим ко­рень по­лу­ча­ем:

Зна­че­ний а, при ко­то­рых вы­пол­ня­ют­ся усло­вия по­след­ней си­сте­мы, нет. Зна­чит, яв­ля­ет­ся по­сто­рон­ним кор­нем.

Рас­смот­рим ко­рень Тогда:

Таким об­ра­зом, при число яв­ля­ет­ся един­ствен­ным кор­нем ис­ход­но­го урав­не­ния.

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к рав­но­силь­ной си­сте­ме:

Рас­смот­рим функ­цию Для того, чтобы си­сте­ма имела ровно одно ре­ше­ние боль­шее 2, па­ра­бо­ла, яв­ля­ю­ща­я­ся гра­фи­ком функ­ции f долж­на либо:

(⁎) пе­ре­се­кать ось абс­цисс в двух точ­ках, одна из ко­то­рых мень­ше двух, а дру­гая боль­ше двух. Для этого не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но вы­пол­не­ния усло­вия от­ку­да то есть

(⁎⁎) пе­ре­се­кать ось абс­цисс в двух точ­ках, одна из ко­то­рых равна 2, а дру­гая мень­ше 2. Решая урав­не­ние по­лу­чим то есть При этом зна­че­нии па­ра­мет­ра урав­не­ние при­ни­ма­ет вид вто­рой его ко­рень равен 1, а по­то­му усло­вие (⁎⁎) вы­пол­не­но;

(⁎⁎⁎) пе­ре­се­кать ось абс­цисс в един­ствен­ной точке, абс­цис­са ко­то­рой не мень­ше двух. В этом слу­чае дис­кри­ми­нант урав­не­ния дол­жен быть равен нулю, а абс­цис­са вер­ши­ны па­ра­бо­лы долж­на быть не мень­ше двух. По­лу­ча­ем для чет­вер­ти дис­кри­ми­нан­та от­ку­да Для обоих най­ден­ных зна­че­ний па­ра­мет­ра вер­ши­на па­ра­бо­лы что не под­хо­дит.

Ответ:

Ре­ше­ние. Сна­ча­ла до­ка­жем вспо­мо­га­тель­ное утвер­жде­ние: сумма двух не­со­кра­ти­мых дро­бей с раз­лич­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми не может рав­нять­ся нулю. Дей­стви­тель­но, пусть   — эти дроби, и для опре­де­лен­но­сти, Пусть Тогда Тогда d долж­но де­лить­ся на b, т. к. a и b вза­им­но про­сты. Но Про­ти­во­ре­чие.

а)  Долж­но вы­пол­нять­ся ра­вен­ство: Но по до­ка­зан­но­му утвер­жде­нию это ра­вен­ство не­воз­мож­но, т. к. наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель пер­вой скоб­ки будет вза­им­но прост с чис­лом 11.

б)  Из пунк­та а) сле­ду­ет, что дробь сле­ду­ет вы­черк­нуть. Ана­ло­гич­но, надо вы­черк­нуть дроби Далее, пусть не вы­черк­ну­та хотя бы одна из дро­бей и Тогда их вклад в общую сумму будет равен или Наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель осталь­ных дро­бей не де­лит­ся на 5, по­это­му по вспо­мо­га­тель­но­му утвер­жде­нию опять по­лу­чит­ся про­ти­во­ре­чие. Зна­чит, дроби и надо вы­черк­нуть. Для осталь­ных чисел нуж­ная рас­ста­нов­ка плю­сов и ми­ну­сов на­хо­дит­ся: