Ре­ше­ние. a)  Решим урав­не­ние:

б)  Вы­бор­ка кор­ней.

По­ка­жем, что

Дей­стви­тель­но,

Ответ: а)

б)  

Ре­ше­ние. Сразу за­ме­тим, что раз се­че­ние че­ты­рех­уголь­ник, то оно долж­но пе­ре­се­кать два ребра па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Кроме того, по­сколь­ку диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны, вер­ши­ны се­че­ния долж­ны ле­жать в плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через центр па­рал­ле­ле­пи­пе­да пер­пен­ди­ку­ляр­но

Если эти вер­ши­ны лежат на реб­рах то диа­го­на­ли ромба равны и от­ку­да его пло­щадь Дей­стви­тель­но, одна из диа­го­на­лей ромба яв­ля­ет­ся диа­го­на­лью па­рал­ле­ле­пи­пе­да: Чтобы найти вто­рую диа­го­наль, решим урав­не­ние (это тео­ре­ма Пи­фа­го­ра, да­ю­щая квад­рат сто­ро­ны ромба, при­ме­нен­ная к тре­уголь­ни­кам ABQ и CBQ, где Q  — вер­ши­на ромба, ле­жа­щая на ребре BB₁). На­хо­дим: при­ме­ня­ем тео­ре­му Пи­фа­го­ра к пря­мо­уголь­но­му тре­уголь­ни­ку AOQ, где О  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ромба, по­лу­ча­ем: от­ку­да вто­рая диа­го­наль ромба равна

Если же они лежат на реб­рах и BC, то рас­сто­я­ние от вер­ши­ны до одной из них не мень­ше а до дру­гой  — не боль­ше по­это­му се­че­ние не может быть ром­бом. Ана­ло­гич­но раз­би­ра­ет­ся слу­чай ребер и

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы:

Кор­ня­ми квад­рат­но­го трех­чле­на яв­ля­ют­ся числа: −1 и −3.

Далее будем иметь:

при любом дей­стви­тель­ном зна­че­нии x, так как Итак, ре­ше­ни­я­ми пер­во­го не­ра­вен­ства яв­ля­ет­ся мно­же­ство Те­перь решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы.

Най­дем огра­ни­че­ния на

Сле­до­ва­тель­но, зна­че­ние пе­ре­мен­ной, рав­ное −2, не может быть ис­ко­мым.

Решим си­сте­му:

Ре­ше­ни­я­ми вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы яв­ля­ет­ся мно­же­ство Пе­ре­се­че­ни­ем ре­ше­ний обоих не­ра­венств будет мно­же­ство

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Углы KOM и KLM равны, так как они опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу KM в окруж­но­сти Обо­зна­чим угол KLM как Углы KLM и CLB равны, как вер­ти­каль­ные, то есть Так как впи­сан­ный угол KAM и цен­траль­ный угол KOM опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу KM в окруж­но­сти то В че­ты­рех­уголь­ни­ке ACLB углы ACL и ABL равны по по­это­му

Зна­чит, Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  По тео­ре­ме си­ну­сов по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

Ясно, что если x яв­ля­ет­ся кор­нем при двух раз­лич­ных зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра, то вы­ра­же­ния для этих зна­че­ний оди­на­ко­вы. Ис­сле­ду­ем для на­ча­ла, при каких зна­че­ни­ях a функ­ция при­ни­ма­ет одно и то же зна­че­ние не­сколь­ко раз.

Ее про­из­вод­ная по­это­му она имеет мак­си­мум при (зна­че­ние 9) и ми­ни­мум при (зна­че­ние ).

Зна­чит, она при­ни­ма­ет зна­че­ния в про­ме­жут­ке по три раза, а сами по два раза.

По­это­му за­да­ча све­лась к такой  — при каких x вы­пол­ня­ет­ся или

Пер­вое, оче­вид­но, не­воз­мож­но  — при имеем при про­чих x имеем

Вто­рое воз­мож­но  — оче­вид­но, при­ни­ма­ет все по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния.

Оста­лось вы­яс­нить, когда то есть Это про­ис­хо­дит при

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Оче­вид­но, что на­чи­ная со вто­рой строч­ки, все числа в таб­ли­це не боль­ше 1000. Кроме того, каж­дое число не боль­ше на­пи­сан­но­го под ним. По­это­му сумма чисел в тре­тьей строч­ке не мень­ше, чем во вто­рой и т. д., и каж­дая из этих сумм не боль­ше мил­ли­о­на. Сле­до­ва­тель­но, по­сколь­ку все время суммы воз­рас­тать не могут, в каких-⁠то со­сед­них строч­ках суммы сов­па­дут, и тогда сов­па­дут и сами строч­ки.

б)  До­ка­жем, что если в m-⁠й строч­ке при число от­лич­но от на­пи­сан­но­го над ним, то оно не мень­ше, чем Дей­стви­тель­но, для это оче­вид­но, по­сколь­ку все числа вто­рой стро­ки на­ту­раль­ные. Пусть это уже про­ве­ре­но для всех строк с но­ме­ра­ми, мень­ши­ми Пусть в -⁠й строч­ке на­пи­са­но число а под ним на­пи­са­но число b, боль­шее Тогда в -⁠й строч­ке на­пи­са­но b чисел, рав­ных Ясно, что в -⁠й строч­ке будет на­пи­са­но не­сколь­ко групп оди­на­ко­вых чисел, по в каж­дой груп­пе, при­чем числа из раз­ных групп раз­лич­ны. От­сю­да вы­те­ка­ет, что b де­лит­ся на то есть Кроме того, по край­ней мере одно из чисел в этих груп­пах от­ли­ча­ет­ся от а зна­чит, по пред­по­ло­же­нию ин­дук­ции Итак, Наше утвер­жде­ние до­ка­за­но по ин­дук­ции для всех Если пред­по­ло­жить, что 11-⁠я строч­ка от­лич­на от 12-⁠й, то какое-⁠то число в 12-⁠й строч­ке будет боль­ше, чем что не­воз­мож­но.

в)  При­ве­дем такой при­мер:

0, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

1, 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, …, 256, …, 256, 488, …, 488

…………………………………………………………….

256, ……………………………., 256, 488, …, 488

1 512, ……………………………., 512, 488, …, 488

В пер­вой строч­ке 0 и 1 встре­ча­ют­ся по од­но­му разу, 2  — два раза, 4  — че­ты­ре раза, 8  — во­семь раз, …, 256  — 256 раз, 488  — встре­ча­ет­ся 488 раз, в 11 строч­ке встре­ча­ет­ся 512 раз число 512 и 488 раз число 488.