PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 505646 
Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни на промежутке 
Решение. а)
Уравнение 
решений не имеет.
б) Нетрудно заметить, что искомый корень единственный: 
Очевидно, что 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения
Методы алгебры: Формулы двойного угла
След сечения на грани SAB — прямая (KH, где K на AS и H на AB), проходящая через середину SD параллельно SB, то есть средняя линия треугольника 
тогда 
из подобия ASB и 
По аналогичным причинам его длина 
Вычислим угол при вершине 
при которых левая часть неравенства обращается в нуль. Таковыми будут числа: 
число 3 не входит в искомые решения:
будут также выполнены условия: 
то на множестве 
при 
Итак, число −2 является элементом множества решений первого неравенства системы, тогда как число 1 таковым не является.
из треугольника KON 
Далее получим, что 
откуда 
Что и требовалось доказать.
Теперь если рассмотреть треугольник KMN, то в нем CD является средней линией. Тогда 
Отсюда получаем, что 
Аналогично доказывается, что 
Аналогично доказывается из площадей треугольников MBO и NDO, что 
Значит, 
и KLMN — трапеция.
оно примет вид: 
откуда 
Таким образом, при 
Тогда 
Подставив полученное значение x в заданное уравнение, получим новое уравнение:
при 
каждому значению t соответствует единственное значение x, то задачу можно переформулировать так: 
при каждом из которых уравнение
то 
В таком случае уравнение (*) будет иметь вид: 
или 
(1)
т. е. 
для любого а, отличного от 1 . А это значит, что при любом значении 
уравнение (1) имеет два различных действительных корня. Обнаружить эти корни легко по теореме Виета. Ими будут: 1 и 
, заведомо удовлетворяет условию 
также будет удовлетворять условию 
т. е. неравенству 
поскольку свободный член уравнения (1) при тех же значениях a непременно должен быть неотрицательным. 
уравнение (1) будет иметь два различных действительных корня.
корень 
отрицательный, то уравнение (1) при 
удовлетворяющее неравенству
уравнение (1) уже имеет два различных действительных корня, то дальнейшее исследование уравнения (*) для значений 
становится излишним.
то 
Тогда уравнение (*) будет иметь вид: 
или 
(2)
Заметим, что прямая 
является осью симметрии квадратичной функции 
Следовательно, при 
функция 
будет возрастающей. Поскольку 
то дискриминант уравнения (2) при 
уравнение (2) решений, удовлетворяющих условию 
У последнего уравнения действительных корней нет.
) называются близкими, если каждое из них меньше, чем сумма всех чисел, деленная на 
Пусть 
... — n близких чисел, S — их сумма.
значит, 
Значит, 
Точно также и для остальных чисел.
Что и требовалось доказать. Теперь из пункта в) следует пункт б), так как 