Ре­ше­ние. а)  

б)   Вы­бор­ка кор­ней. Будем ис­кать стро­го по­ло­жи­тель­ные корни.

Из серии

При при Даль­ней­шие по­ис­ки кор­ней из дан­ной серии смыс­ла не имеют.

Из серии

При (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

При (не­ра­вен­ство оче­вид­ное).

При Даль­ней­шие по­ис­ки кор­ней из дан­ной серии смыс­ла не имеют.

Итак,

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. Пусть вы­со­та DH пи­ра­ми­ды ABCD с вер­ши­ной D яв­ля­ет­ся вы­со­той бо­ко­вой грани BDC. Пред­по­ло­жим, что она про­ве­де­на к бо­ко­вой сто­ро­не. Пусть За­ме­тим, что так как в про­тив­ном слу­чае ABCD, но вы­со­та пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра не сов­па­да­ет с вы­со­той его бо­ко­вой грани. Из ра­вен­ства всех гра­ней пи­ра­ми­ды сле­ду­ет, что и вы­со­та DP рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ADC, опу­щен­ная на бо­ко­вую сто­ро­ну AC, равна вы­со­те DH рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка BCD, опу­щен­ной на бо­ко­вую сто­ро­ну BC, Но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку DH  — пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды, а DP  — на­клон­ная к этой плос­ко­сти, про­ве­ден­ная из той же точки. Таким об­ра­зом, DH  — вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка BDC, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию.

Так как вы­со­та бо­ко­вой грани сов­па­да­ет с вы­со­той всей пи­ра­ми­ды, то плос­кость грани BCD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ос­но­ва­ния ABC. Вве­дем обо­зна­че­ния: CD = BD = a, BC = b, DH = h (H  — се­ре­ди­на сто­ро­ны BC, так как DH вы­со­та и ме­ди­а­на в р/б тре­уголь­ни­ке DBC). Так как все грани яв­ля­ют­ся рав­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми, то по­лу­ча­ем, что AB = AC = a, AD = b, AH = h. Далее, до­ка­жем, что наи­боль­ши­ми про­ти­во­по­лож­ны­ми реб­ра­ми пи­ра­ми­ды яв­ля­ют­ся ребра AD и BC, вы­ра­зив их через h. Из рав­но­бед­рен­но­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ADH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

Из тре­уголь­ни­ка DCH по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­чим:

От­сю­да видно, что то есть ребро b яв­ля­ет­ся наи­боль­шим. Зна­чит, рас­сто­я­ние 1, за­дан­ное по усло­вию,  — это рас­сто­я­ние между реб­ра­ми AD и BC. Так как плос­кость (ADH) пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC (), то рас­сто­я­ни­ем между AD и BC яв­ля­ет­ся пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из точки H на пря­мую AD в плос­ко­сти (ADH). Тогда со­еди­ня­ем H с се­ре­ди­ной сто­ро­ны AD  — от­ре­зок HK яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ADH, а сле­до­ва­тель­но, и вы­со­той.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ка KDH по­лу­чим:

Оста­лось найти объем пи­ра­ми­ды:

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы. Вве­дем новую пе­ре­мен­ную. Пусть Тогда:

По­сколь­ку то

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Решим вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы толь­ко на мно­же­стве

Ре­ше­ния по­след­не­го не­ра­вен­ства по­лу­чим ме­то­дом ин­тер­ва­лов.

Ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы на мно­же­стве

Это же мно­же­ство есть ре­ше­ния ис­ход­ной си­сте­мы.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Из свойств се­ку­щих к окруж­но­сти из­вест­но:

По­лу­ча­ем, что тре­уголь­ни­ки ABC и AMK по­доб­ны (так как угол A  — общий). Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков имеем:

Под­став­ляя сюда из­вест­ные зна­че­ния, по­лу­чим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Если то урав­не­ние при­ни­ма­ет вид и имеет один ко­рень.

В осталь­ных слу­ча­ях пред­ста­вим гра­фик обеих ча­стей урав­не­ния.

Гра­фик левой части  — пря­мая, па­рал­лель­ная пря­мой

Гра­фик функ­ции   — два луча с общим на­ча­лом в точке и уг­ло­вы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми

По­это­му гра­фик пра­вой части  — два луча (с на­ча­ла­ми в точ­ках и уг­ло­вы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми ) и два от­рез­ка, со­еди­ня­ю­щих те же точки с точ­кой

Из гра­фи­ка пра­вой части видно, что пря­мая, па­рал­лель­ная имеет с ним ровно три общих точки тогда и толь­ко тогда, когда про­хо­дит либо через либо через Оста­лось вы­яс­нить, при каких a это про­ис­хо­дит.

В пер­вом слу­чае от­ку­да (уже раз­би­ра­лось) либо (под­хо­дит)

Во вто­ром слу­чае от­ку­да (уже раз­би­ра­лось) либо (под­хо­дит).

Ответ: или

Ре­ше­ние. а)   Пусть не­по­хо­жих рас­те­ний 51 и k из них имеют дан­ный при­знак, а   — не имеют. Число не­сов­па­да­ю­щих по этому при­зна­ку пар равно В сумме по­лу­ча­ем менее не­сов­па­де­ний. Но по усло­вию их долж­но быть боль­ше, чем Про­ти­во­ре­чие.

б)  Пусть в спра­воч­ни­ке есть m видов по­пар­но не­по­хо­жих рас­те­ний. До­ба­вим к опи­са­нию еще один при­знак: чётность числа име­ю­щих­ся у дан­но­го рас­те­ния при­зна­ков. По­лу­чим спра­воч­ник, где для опи­са­ния рас­те­ния ис­поль­зу­ет­ся уже 101 при­знак, при­чем любые опи­са­ния раз­ли­ча­ют­ся по край­ней мере по 52 при­зна­кам (если ис­ход­ные опи­са­ния раз­ли­ча­лись ровно по 51 при­зна­ку, то чётно­сти числа име­ю­щих­ся при­зна­ков у них раз­лич­ны). Дей­ствуя так же, как в пунк­те а), по­лу­ча­ем, что общее число раз­ли­чий не мень­ше но не боль­ше Из не­ра­вен­ства сле­ду­ет, что Итак, в новом, а зна­чит, и в ис­ход­ном спра­воч­ни­ке опи­са­но не более 34 по­пар­но не­по­хо­жих рас­те­ний.