Ре­ше­ние. а)   Вос­поль­зу­ем­ся чет­но­стью функ­ции ко­си­нус, пе­ри­о­дич­но­стью си­ну­са и ко­си­ну­са, фор­му­ла­ми при­ве­де­ния, фор­му­лой пре­об­ра­зо­ва­ния раз­но­сти си­ну­сов двух ар­гу­мен­тов в про­из­ве­де­ние:

б)  Из серии кор­ней по­лу­чим един­ствен­ный ко­рень Из серии кор­ней

Ответ: a) б)

При­ме­ча­ние.

Как это часто бы­ва­ет в три­го­но­мет­ри­че­ских урав­не­ни­ях, воз­мож­на дру­гая вер­ная форма за­пи­си от­ве­та. На­при­мер, такая:

Ре­ше­ние. Так как ос­но­ва­ние вы­со­ты па­да­ет в центр ромба ос­но­ва­ния, то мы по­лу­чим два рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка: ASC и BSD (так как от­ре­зок SO яв­ля­ет­ся в них вы­со­той и ме­ди­а­ной).

Далее, по­стро­им ис­ко­мое се­че­ние: плос­кость се­че­ния пе­ре­се­ка­ет плос­кость (BSD) по линии, па­рал­лель­ной линии BD. По­это­му в тре­уголь­ни­ке BSD через точку пе­ре­се­че­ния вы­со­ты SO и от­рез­ка AM (точка P) про­во­дим от­ре­зок точки N и K при­над­ле­жат сто­ро­нам SB и SD со­от­вет­ствен­но. Оста­ет­ся со­еди­нить точку K с точ­ка­ми A и M в плос­ко­стях (ASD) и (SCD) со­от­вет­ствен­но; точку N с точ­ка­ми A и M в плос­ко­стях (ASB) и (SBC) со­от­вет­ствен­но.

По­ка­жем, что в по­лу­чен­ном в се­че­нии 4-уголь­ни­ке диа­го­на­ли AM и NK пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом. Рас­смот­рим на­клон­ную пря­мую AM и ее про­ек­цию AG на плос­кость ос­но­ва­ния (ABC): так как ABCD  — ромб, то и по тео­ре­ме о 3-х пер­пен­ди­ку­ля­рах А так как то Зна­чит, пло­щадь дан­но­го се­че­ния можно найти так:

Най­дем сто­ро­ны, не­об­хо­ди­мые для вы­чис­ле­ний: по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABO най­дем BO:

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ASC ме­ди­а­ны SO и AM де­лят­ся в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­шин S и A со­от­вет­ствен­но. По­это­му

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке BSD, от­ре­зок NK от­се­ка­ет по­доб­ный ему тре­уголь­ник NSK (угол S  — общий; как со­от­вет­ствен­ные). По­это­му от­ку­да

Рас­смот­рим далее вы­нос­ной чер­теж: тре­уголь­ник ASC.

По усло­вию по­это­му тре­уголь­ник AMG  — рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный. Зна­чит, AG = MG, тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра Так как в тре­уголь­ни­ке SOC от­ре­зок MG па­рал­ле­лен SO и вы­хо­дит из се­ре­ди­ны сто­ро­ны SC, то MG яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей дан­но­го тре­уголь­ни­ка. Тогда от­ку­да по­лу­ча­ем

Оста­лось по­счи­тать пло­щадь се­че­ния:

Ответ:

Ре­ше­ние. Най­дем огра­ни­че­ния на x с уче­том обоих не­ра­венств си­сте­мы:

Итак, каж­дое не­ра­вен­ство си­сте­мы будем рас­смат­ри­вать толь­ко на мно­же­стве

Най­дем ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы на

Оче­вид­но, что для лю­бо­го так как Кроме того, на рас­смат­ри­ва­е­мом мно­же­стве также

Сле­до­ва­тель­но, на М

Пе­рей­дем к ис­сле­до­ва­нию вто­ро­го не­ра­вен­ства си­сте­мы на мно­же­стве ре­ше­ний пер­во­го не­ра­вен­ства . Ведем новую пе­ре­мен­ную. Пусть Тогда рас­смат­ри­ва­е­мое не­ра­вен­ство можно пред­ста­вить си­сте­мой:

Пе­рей­дем к пе­ре­мен­ной

По­след­няя си­сте­ма не­сов­мест­на. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мые зна­че­ния пе­ре­мен­ной x есть чис­ло­вой про­ме­жу­ток

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Точки, ле­жа­щие на бис­сек­три­се угла, рав­но­уда­ле­ны от сто­рон этого угла. По­это­му точка Е рав­но­уда­ле­на от пря­мых AD, AB и от пря­мых AB и BC. Сле­до­ва­тель­но, точка Е на­хо­дит­ся на рав­ном рас­сто­я­нии от пря­мых AD и BC.

(Дру­ги­ми сло­ва­ми пер­пен­ди­ку­ля­ры EM и EN, про­ве­ден­ные со­от­вет­ствен­но к сто­ро­нам угла A, равны, и пер­пен­ди­ку­ля­ры EN и EK, про­ве­ден­ные к сто­ро­нам BA и BC со­от­вет­ствен­но, равны. По­это­му EM = EK.)

б)  Пусть Про­ведём от­ре­зок A₁B₁ через точку E так, чтобы A₁B₁ был па­рал­ле­лен AB. В тра­пе­ции A₁ABB₁ по свой­ству углов, при­ле­жа­щих к бо­ко­вой сто­ро­не, По при­зна­ку впи­сан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD сле­до­ва­тель­но:

Ана­ло­гич­но для углов и по­лу­ча­ем

Для тре­уголь­ни­ка A₁EA при­ме­ним тео­ре­му о сумме углов. За­пи­шем:

от­ку­да AA₁  =  A₁E по об­рат­ной тео­ре­ме о рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке. Ана­ло­гич­но для тре­уголь­ни­ка BEB₁:

и EB₁  =  BB₁.

Тре­уголь­ни­ки A₁ME и CKE равны по двум углам и сто­ро­не тогда A₁D  =  B₁C как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты. Тре­уголь­ни­ки A₁DE и ECB₁ равны по двум углам и сто­ро­не тогда EB₁  =  DE как со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты.

Рас­смот­рим от­рез­ки AD и BC:

зна­чит,

Из пунк­та а) EM  =  EK, тогда по тео­ре­ме о пло­ща­дях тре­уголь­ни­ков с рав­ны­ми вы­со­та­ми для тре­уголь­ни­ков ADE и BCE по­лу­ча­ем:

Ответ: 1 : 2.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние пунк­та б).

Обо­зна­чим ME = EK = r и вы­ра­зим пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков:

Вы­ра­зим через углы и сто­ро­ны AD, BC и DC, пред­ва­ри­тель­но найдя углы в дан­ном че­ты­рех­уголь­ни­ке:

Из тре­уголь­ни­ков AME и BEK со­от­вет­ствен­но по­лу­ча­ем:

Из тре­уголь­ни­ка MDE:

Из тре­уголь­ни­ка CKE:

Тогда

Пре­об­ра­зу­ем по­лу­чен­ные вы­ра­же­ния для сто­рон:

Тогда по­лу­чим:

Вос­поль­зу­ем­ся в чис­ли­те­ле и зна­ме­на­те­ле сле­ду­ю­щей фор­му­лой: от­ку­да по­лу­чим:

Оста­лось вос­поль­зо­вать­ся тем, что DC : BC = 3 : 2:

Обо­зна­чим для со­кра­ще­ния за­пи­си: Тогда:

Под­ста­вим z в ис­ко­мую дробь и по­лу­чим:

В итоге по­лу­чи­ли:

Ответ: 1 : 2.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что x  =  9 не яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния ни при каком a и пе­ре­пи­шем урав­не­ние в виде после чего ис­сле­ду­ем функ­цию на воз­рас­та­ние и убы­ва­ние.

При имеем

по­это­му функ­ция воз­рас­та­ет, при этом Итак, на этом про­ме­жут­ке функ­ция при­ни­ма­ет все не­от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния по од­но­му разу.

При имеем

по­это­му функ­ция убы­ва­ет на про­ме­жут­ках и при этом пря­мая x  =  9 яв­ля­ет­ся вер­ти­каль­ной асимп­то­той гра­фи­ка. Итак, на этом про­ме­жут­ке функ­ция при­ни­ма­ет все зна­че­ния по од­но­му разу.

При имеем

по­это­му функ­ция убы­ва­ет на про­ме­жут­ке и воз­рас­та­ет на про­ме­жут­ке при этом Итак, на этом про­ме­жут­ке функ­ция при­ни­ма­ет все зна­че­ния из про­ме­жут­ка по два раза, а зна­че­ния 0 и -4  — по од­но­му разу.

При имеем

по­это­му функ­ция воз­рас­та­ет, при этом

Итак, на этом про­ме­жут­ке функ­ция при­ни­ма­ет все от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния по од­но­му разу. Объ­еди­няя, по­лу­ча­ем, что на про­ме­жут­ках кроме функ­ция при­ни­ма­ет каж­дое свое зна­че­ние ровно два раза. Зна­чит, на этом про­ме­жут­ке она долж­на при­ни­мать такое зна­че­ние один раз.

Ответ:a  =  0; a  =  -4.

Ре­ше­ние. а)  Если то Если то каж­дый шаг удва­и­ва­ет от­кло­не­ние от (где ), Если это число всё ещё боль­ше 1/4, по­вто­рим про­це­ду­ру, что воз­мож­но, так как нуж­ное усло­вие опять вы­пол­ня­ет­ся. Если то уже Если будем уве­ли­чи­вать от­кло­не­ние от 1/5: (где ), Если это число всё ещё боль­ше 3/16, по­вто­рим про­це­ду­ру, что воз­мож­но, так как опять вы­пол­ня­ет­ся усло­вие 3/16n будет вы­пол­не­но нуж­ное не­ра­вен­ство.

б)  Для по­стро­е­ния при­ме­ра будем ис­поль­зо­вать дво­ич­ную за­пись числа. Ир­ра­ци­о­наль­ные числа, как и в слу­чае де­ся­тич­ной за­пи­си, пред­став­ля­ют­ся бес­ко­неч­ны­ми не­пе­ри­о­ди­че­ски­ми дро­бя­ми. Рас­смот­рим ир­ра­ци­о­наль­ное число Оно устро­е­но так: после за­пя­той идет груп­па (0011), потом груп­па 00101101, потом два раза груп­па (0011), потом снова 00101101, потом три раза груп­па (0011) и т. д. По­ка­жем, что число a дает не­об­хо­ди­мый при­мер.

Дей­стви­тель­но для всех на­ту­раль­ных