Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Дан треугольник ABC. Серединный перпендикуляр к стороне AB пересекается с биссектрисой угла BAC в точке K, лежащей на стороне BC.
а) Докажите, что 
б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник AKC, если 
и сторона AC = 24.
Решение.
Спрятать критерии
а) Пусть
тогда из равнобедренности треугольника BKA следует, что 
Значит, треугольники ACK и BCA подобны по двум углам (угол С — общий). Из подобия получаем: 
откуда 
б) Заметим, что 
Следовательно,
Тогда по теореме синусов получаем, что 
откуда KC = 15. Находим:
Высота CH треугольника CKA равна
Поэтому
Найдём радиус вписанной окружности:
Ответ: 
Методы геометрии: Теорема синусов, Тригонометрия в геометрии
Классификатор планиметрии: Окружность, вписанная в треугольник, Подобие, Окружности и треугольники