ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 641932 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $7 в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 7, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби .$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 2 Пи правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

a)  Получим степени с равными основаниями:

$7 в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 7, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби равносильно 7 в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка = 7 в степени левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = 1 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка минус 1=0 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = минус 1, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец совокупности . \underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $7 в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 7, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби равносильно 7 в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка = 7 в степени левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = 1 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка равносильно 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка минус 1=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = минус 1, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец совокупности . \underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно$
$\underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $7 в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 7, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби равносильно 7 в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка = 7 в степени левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = 1 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка минус 1=0 равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = минус 1, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец совокупности . \underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $7 в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 7, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби равносильно 7 в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка = 7 в степени левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = 1 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка минус 1=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = минус 1, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец совокупности . \underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно$
$\underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$ $7 в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка = дробь: числитель: 7, знаменатель: 7 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби равносильно$
$равносильно 7 в степени левая круглая скобка 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка = 7 в степени левая круглая скобка 1 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = 1 минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 2 логарифм по основанию 2 в квадрате левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка минус 1=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = минус 1, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , косинус x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец совокупности . \underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно$
$\underset | косинус x| меньше или равно 1 \mathop равносильно косинус x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x= \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис.). Подходит корень $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k ; k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 431

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа, Показательные уравнения, Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь