Ре­ше­ние. а)  Урав­не­ние опре­де­ле­но, если Наи­боль­шее зна­че­ние ар­гу­мен­та ло­га­риф­ма равно 0,8, а по­то­му мно­жи­тель от­ли­чен от нуля. Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние рав­но­силь­но си­сте­ме:

б)  Корни, ле­жа­щие на от­рез­ке от­бе­рем корни при по­мо­щи двой­но­го не­ра­вен­ства:

Най­ден­но­му зна­че­нию па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ет ко­рень

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть E  — точка пе­ре­се­че­ния про­дол­же­ний от­рез­ков AB и DC. Тогда BC  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка AED, в ко­то­ром AE  =  ED  =  AD. От­ре­зок AC  — ме­ди­а­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка AED, зна­чит, AC яв­ля­ет­ся и вы­со­той этого тре­уголь­ни­ка. Пря­мая SA  — пер­пен­ди­ку­ляр к плос­ко­сти AED, SС  — на­клон­ная, AC  — про­ек­ция на­клон­ной на плос­кость AED. По тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мая SC пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CD. От­ре­зок PT  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BSC, сле­до­ва­тель­но, пря­мые PT и SC па­рал­лель­ны. Таким об­ра­зом, пря­мая PT пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой CD.

б)  Пусть H  — точка пе­ре­се­че­ния пря­мых TM и DE. От­ре­зок TM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABC, сле­до­ва­тель­но, пря­мые MT и AC па­рал­лель­ны, тогда пря­мые DE и TM вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Кроме того, пря­мая DH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой PT (по п. а), и по­то­му пря­мая DH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти PTM, то есть яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды DPTM.

Тре­уголь­ник BTM рав­но­бед­рен­ный. Тогда

Далее на­хо­дим:

Для пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка PTM по­лу­ча­ем:

Тогда объем пи­ра­ми­ды DMPT равен

Ответ: б)

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем умень­ша­е­мое чис­ли­те­ля:

Тогда ис­ход­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но не­ра­вен­ству

За­ме­тим, что   — воз­рас­та­ю­щая функ­ция, зна­чит, знак раз­но­сти сов­па­дет со зна­ком раз­но­сти По­лу­ча­ем:

Вос­поль­зу­ем­ся ме­то­дом ин­тер­ва­лов. Для этого найдём корни чис­ли­те­ля:

Тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Общая сумма вы­плат будет со­сто­ять из ос­нов­ной суммы долга S и на­чис­ля­е­мых про­цен­тов. Зна­чит, сумма вы­плат будет равна

что на 72 % пре­вы­сит сумму кре­ди­та.

Ответ: 72.

Ре­ше­ние. а)  Рас­смот­рим тра­пе­цию ABCD с бо­ко­вы­ми сто­ро­на­ми AB и CD, обо­зна­чим M и N се­ре­ди­ны этих сто­рон со­от­вет­ствен­но. Пусть окруж­но­сти с диа­мет­ром AB и CD ка­са­ют­ся в точке O. Точки M, O, N лежат на одной пря­мой, по­это­му Тогда ра­ди­ус окруж­но­сти зна­чит, сле­до­ва­тель­но,

по­сколь­ку от­ре­зок MN  — сред­няя линия. Сле­до­ва­тель­но, а по­то­му в тра­пе­цию можно впи­сать окруж­ность.

б)  Зме­тим, что от­рез­ки AO и DO  — бис­сек­три­сы углов A и D, по­сколь­ку точка O  — центр впи­сан­ной окруж­но­сти. Тогда

то есть От­ме­тим на от­рез­ке AD точки P и Q так, что AP  =  AM и QD  =  ND, тогда По тео­ре­ме ко­си­ну­сов на­хо­дим:

то есть Тогда и

Ответ: б) 2 и 9.

Ре­ше­ние. Сде­ла­ем за­ме­ну тогда си­сте­ма при­ни­ма­ет вид

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся пара при и пара при

Ис­сле­ду­ем си­сте­му

на ко­ли­че­ство ре­ше­ний. Каж­дое ре­ше­ние си­сте­мы со­от­вет­ству­ет ре­ше­нию урав­не­ния Рас­смот­рим функ­цию Най­дем про­из­вод­ную: Функ­ция f имеет мак­си­мум в точке и ми­ни­мум в точке От­сю­да, учи­ты­вая ха­рак­тер мо­но­тон­но­сти, за­клю­ча­ем, что урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при или при Так как до­ста­точ­но рас­смот­реть толь­ко вто­рое усло­вие: Оста­лось за­ме­тить, что при ре­ше­ний более од­но­го, так как при таких a ре­ше­ния те же, что и при

Ответ:

При­ве­дем ре­ше­ние Вик­то­ра Ко­ше­ле­ва.

Пе­ре­пи­шем си­сте­му в виде

Рас­смот­рим три слу­чая.

Слу­чай 1: Пра­вая часть вто­ро­го урав­не­ния по­лу­чен­ной си­сте­мы от­ри­ца­тель­на:

а левая  — не­от­ри­ца­тель­на:

По­это­му урав­не­ние, а вме­сте с ним и вся си­сте­ма, не имеют ре­ше­ний.

Слу­чай 2: По­лу­ча­ем си­сте­му:

По­ло­жим най­дем про­из­вод­ную этой функ­ции: Най­ден­ная про­из­вод­ная равна нулю и ме­ня­ет знаки точ­ках Най­дем экс­тре­му­мы функ­ции:

Зна­чит, на луче функ­ция f(x) воз­рас­та­ет, при­ни­мая зна­че­ния от –∞ до 22; на от­рез­ке [−2; 2] функ­ция убы­ва­ет, при­ни­мая зна­че­ния от  −10 до  22; на луче функ­ция f(x) воз­рас­та­ет, при­ни­мая зна­че­ния от −10 до +∞. Таким об­ра­зом, в рас­смат­ри­ва­е­мом слу­чае и при таких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра си­сте­ма имеет 3 ре­ше­ния.

Слу­чай 3: В этом слу­чае имеем:

Итак, в рас­смат­ри­ва­е­мом слу­чае По­ло­жим най­дем про­из­вод­ную: Точ­ка­ми экс­тре­му­ма яв­ля­ют­ся най­дем экс­тре­му­мы:

По­сколь­ку то и Сле­до­ва­тель­но, ко­ли­че­ство ре­ше­ний си­сте­мы за­ви­сит от знака вы­ра­же­ния g(2). При име­ет­ся 3 ре­ше­ния, при   — два ре­ше­ния, при   — одно ре­ше­ние.

Объ­еди­няя три рас­смот­рен­ных слу­чая, по­лу­ча­ем, что ис­ход­ная си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при

Ре­ше­ние. Пусть x и y  — длины ка­те­тов, а z  — длина ги­по­те­ну­зы. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

а)  Если длина ги­по­те­ну­зы z  =  17, а то от­ку­да то есть а зна­чит, Пе­ре­би­рая ва­ри­ан­ты x  =  13, x  =  14, x  =  15 и x  =  16, на­хо­дим со­от­вет­ствен­но:

Толь­ко один из этих ва­ри­ан­тов дает на­ту­раль­ное зна­че­ние y  =  8.

Если же один из ка­те­тов равен 17, то по­лу­ча­ем урав­не­ние

Число 289 един­ствен­ным об­ра­зом (с точ­но­стью до по­ряд­ка) пред­став­ля­ет­ся в виде про­из­ве­де­ния на­ту­раль­ных со­мно­жи­те­лей: от­ку­да и сле­до­ва­тель­но, z  =  145 и y  =  144.

б)  По­сколь­ку каж­дый из ка­те­тов мень­ше ги­по­те­ну­зы, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка мень­ше утро­ен­ной ги­по­те­ну­зы. Зна­чит, в усло­вии го­во­рит­ся о ка­те­те. Итак, от­ку­да Тогда

(можно по­де­лить на от­ку­да Зна­чит, y крат­но 23, иначе число z не­це­лое. Пусть y  =  23t, тогда z  =  265t и x  =  264t. Ясно, что z и x не могут быть про­сты­ми: они крат­ны 5 и 2 со­от­вет­ствен­но и боль­ше этих чисел. Зна­чит, про­стым будет y  =  23t, что воз­мож­но толь­ко при t  =  1.

в)  За­ме­тим, что про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе вы­со­та делит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник на два тре­уголь­ни­ка, по­доб­ных между собой и по­доб­ных ис­ход­но­му тре­уголь­ни­ку. Най­дем такие тре­уголь­ни­ки. Пусть a  — от­ре­зок ги­по­те­ну­зы от ос­но­ва­ния вы­со­ты до вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка, b  — со­от­вет­ству­ю­щий катет. Вы­со­та равна сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му про­ек­ция ка­те­тов на ги­по­те­ну­зу, по­это­му a  — де­ли­тель числа 120². Если тогда Числа и имеют оди­на­ко­вую чет­ность, по­это­му оба долж­ны быть четны. Этого до­ста­точ­но, чтобы по ним найти под­хо­дя­щие a и b. Если то:

Пе­ре­бе­рем те­перь чет­ные де­ли­те­ли 14 400, мень­шие 120. Оче­вид­но, что

В каж­дом слу­чае вы­пи­шем a и вы­ра­же­ние   — длину вто­ро­го от­рез­ка ги­по­те­ну­зы. Чтобы со­кра­тить пе­ре­бор, будем ис­кать мень­ший от­ре­зок ги­по­те­ну­зы, то есть по­тре­бу­ем, чтобы

Ясно, что функ­ция в левой части убы­ва­ет, при­чем для d  =  48 по­лу­ча­ем по­это­му можно пе­ре­би­рать толь­ко Тогда

—  d  =  50 и a  =  119  — не под­хо­дит;

—  d  =  60 и a  =  90  — под­хо­дит, тогда вто­рой от­ре­зок 160;

—  d  =  64 и a  =  80,5  — не под­хо­дит;

—  d  =  72 и a  =  64  — под­хо­дит, тогда вто­рой от­ре­зок 225;

—  d  =  80 и a  =  50  — под­хо­дит, тогда вто­рой от­ре­зок 288;

—  d  =  90 и a  =  35  — не под­хо­дит;

—  d  =  96 и a  =  27  — не под­хо­дит;

—  d  =  100 и a  =  22  — не под­хо­дит.

В каж­дом из этих слу­ча­ев вы­чис­лим сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка. Для от­рез­ков 90 и 160 ги­по­те­ну­за равна 250, а ка­те­ты равны

и 200. Для от­рез­ков 64 и 225 ги­по­те­ну­за равна 289, а ка­те­ты равны

и 255. Для от­рез­ков 50 и 288 ги­по­те­ну­за равна 338, а ка­те­ты равны

и 312.

Ответ: а)  8, 15, 17 или 17, 144, 145; б)  23, 264, 265; в)  150, 200, 250, или 136, 255, 289, или 130, 312, 338.