а)  За­ме­тим, что диа­го­на­ли AC и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны и диа­го­наль AC пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру BB₁, сле­до­ва­тель­но, пря­мая AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BB₁D₁, зна­чит, плос­кость AD₁C пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BB₁D₁.

б)  Пусть точка О  — центр ос­но­ва­ния. Из точки B₁ на пря­мую D₁O опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр B₁H. Из п. а) сле­ду­ет, что от­ре­зок B₁H пер­пен­ди­ку­ля­рен диа­го­на­ли AC, по­это­му от­ре­зок B₁H пер­пен­ди­ку­ля­рен плос­ко­сти AD₁C и его длина яв­ля­ет­ся ис­ко­мым рас­сто­я­ни­ем. За­ме­тим, что тре­уголь­ни­ки B₁HD₁ и DD₁O по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но:

Тогда от­ку­да на­хо­дим, что

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние Алек­сандра Тур­ба­но­ва (Ли­пецк).

а)  Введём пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точке B так, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Пусть За­пи­шем не­об­хо­ди­мые ко­ор­ди­на­ты:

Со­ста­вим урав­не­ние плос­ко­сти AD₁C в виде :

Под­ста­вим зна­че­ния A и B во вто­рое урав­не­ние си­сте­мы, по­лу­чим

Те­перь можем за­пи­сать урав­не­ние плос­ко­сти:

от­ку­да век­тор нор­ма­ли

Со­ста­вим ана­ло­гич­ным спо­со­бом урав­не­ние плос­ко­сти BB₁D₁:

от­ку­да

сле­до­ва­тель­но, век­тор нор­ма­ли Найдём ска­ляр­ное по­из­ве­де­ние:

что озна­ча­ет, что век­тор пер­пен­ди­ку­ля­рен век­то­ру Сле­до­ва­тель­но, плос­ко­сти (AD₁C) и (BB₁D₁) пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Ко­ор­ди­на­ты точки плос­кость AD₁C задаётся урав­не­ни­ем её век­тор нор­ма­ли Найдём рас­сто­я­ние между точ­кой и плос­ко­стью