Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние при усло­ви­ях (⁎). Имеем:

Усло­ви­ям (⁎) удо­вле­тво­ря­ет толь­ко серия

б)  Длина от­рез­ка равна π, по­это­му из най­ден­ной серии ре­ше­ний в от­ре­зок может по­пасть не более од­но­го корня. Сле­до­ва­тель­но, число со­от­вет­ству­ю­щее   — един­ствен­ное ре­ше­ние, ле­жа­щее в этом от­рез­ке.

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть FO  — вы­со­та пи­ра­ми­ды, тогда в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке FDB она яв­ля­ет­ся также ме­ди­а­ной и точка N  — точка пе­ре­се­че­ния ме­ди­ан этого тре­уголь­ни­ка. Сле­до­ва­тель­но, BM  — ме­ди­а­на тре­уголь­ни­ка FDB, а M  — се­ре­ди­на FD.

б)  Плос­кость γ па­рал­лель­на AC, по­это­му она пе­ре­се­ка­ет плос­кость FAC по пря­мой ST, па­рал­лель­ной AC. По тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах BM пер­пен­ди­ку­ляр­на ST. Имеем:

Пусть M'  — про­ек­ция точки M на BD, тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Найдём ОДЗ дан­но­го не­ра­вен­ства:

За­ме­тим, что на ОДЗ

а также

Пусть тогда ис­ход­ное не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной и при­ме­ним метод ра­ци­о­на­ли­за­ции. Для не­ра­вен­ства по­лу­ча­ем:

За­ме­тим, что най­ден­ное ре­ше­ние не­ра­вен­ства сов­па­да­ет с ОДЗ ис­ход­но­го не­равн­ства, а по­то­му все числа из ОДЗ яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми, а зна­чит, иных ре­ше­ний не­ра­вен­ство не дает.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Тра­пе­ция ABCD рав­но­бо­кая, по­это­му углы ABC и BCD равны. Углы BCA и CAD равны как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых. Тогда в тре­уголь­ни­ках ABC и MCD по два рав­ных угла, сле­до­ва­тель­но, они по­доб­ны. Из по­до­бия сле­ду­ет, что Тогда от­ку­да

Рас­смот­рим тре­уголь­ник AMD. Он рав­но­бед­рен­ный с ос­но­ва­ни­ем AD, кроме того, зна­чит, Пусть сумма углов тре­уголь­ни­ка ACD равна От­сю­да что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  По усло­вию, BC  =  2, зна­чит, Тогда боль­шее ос­но­ва­ние AD равно Вы­со­та тра­пе­ции равна Сле­до­ва­тель­но, для пло­ща­ди тра­пе­ции по­лу­ча­ем:

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть пер­вый по­вы­ша­ю­щий ко­эф­фи­ци­ент равен а вто­рой по­вы­ша­ю­щий ко­эф­фи­ци­ент равен В июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года, эта сумма равна млн руб. Со­ста­вим таб­ли­цу.

Год	Долг в ян­ва­ре (после на­чис­ле­ния про­цен­тов) млн руб.	Вы­пла­та млн руб.	Долг в июле (до на­чис­ле­ния про­цен­тов) млн руб.
2021			21
2022	21a		18
2023	18a		15
2024	15a		12
2025	12a		9
2026	9b		6
2027	6b		3
2028	3b	3b	0

Сумма вы­плат равна

Тогда

Зна­чит,

Ответ: 4.

Ре­ше­ние. Пусть За­ме­тим, что

а тогда, обо­зна­чая по­лу­ча­ем:

Вернёмся к пе­ре­мен­ной y:

По­лу­ча­ем, что   — яв­ля­ет­ся кор­нем при любом зна­че­нии па­ра­мет­ра a. Зна­чит, чтобы ис­ход­ное урав­не­ние имело един­ствен­ное ре­ше­ние вто­рое урав­не­ние со­во­куп­но­сти не долж­но иметь кор­ней от­лич­ных от

За­ме­тим, что левая часть урав­не­ния пред­став­ля­ет собой воз­рас­та­ю­щую функ­цию (сумма воз­рас­та­ю­щих), а пра­вая часть  — по­сто­ян­ную. Зна­чит, урав­не­ние может иметь не более од­но­го корня. Оче­вид­но, этот ко­рень

Вернёмся к пе­ре­мен­ной x: Ни при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра число не яв­ля­ет­ся кор­нем этого урав­не­ния. Зна­чит, для вы­пол­не­ния усло­вия за­да­чи нужно, чтобы урав­не­ние не имело ре­ше­ний. Квад­рат­ное урав­не­ние не имеет ре­ше­ний, если его дис­кри­ми­нант от­ри­ца­те­лен.

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  На­при­мер, 5115.

б)  На­при­мер, 931 139.

в)  Пусть x, y, z  — три цифры этого числа, иду­щие под­ряд. Тогда x + z > 2y, от­ку­да то есть раз­но­сти между со­сед­ни­ми циф­ра­ми умень­ша­ют­ся. За­ме­тим также, что сумма всех этих раз­но­стей равна раз­но­сти между пер­вой и по­след­ней циф­ра­ми. Далее, среди этих раз­но­стей не может быть 4 по­ло­жи­тель­ных (тогда пятая цифра от­ли­ча­лась бы от пер­вой ми­ни­мум на 1 + 2 + 3 + 4  =  10) или 4 от­ри­ца­тель­ных. Зна­чит, мак­си­маль­ное число раз­но­стей 7, по­это­му число не более чем вось­ми­знач­ное. Такое вось­ми­знач­ное дей­стви­тель­но су­ще­ству­ет, на­при­мер 96 433 469.

За­ме­тим, что в оп­ти­маль­ном при­ме­ре по три по­ло­жи­тель­ных и от­ри­ца­тель­ных раз­но­сти и еще раз­ность 0. При этом пер­вая цифра не боль­ше 9, вто­рая не боль­ше 9 − 3  =  6, тре­тья не боль­ше 9 − 3 − 2  =  4, чет­вер­тая не боль­ше 9 − 3 − 2 − 1  =  3. Пятая долж­на быть равна чет­вер­той, ше­стая не боль­ше 9 − 3 − 2  =  4 (из нее вы­чи­та­ют ми­ни­мум и по­лу­ча­ют по­след­нюю цифру), ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем осталь­ные две цифры. Итак, най­ден­ный при­мер оп­ти­ма­лен.

Ответ: а)  5115; б)  931 139; в)  96 433 469.