PDF-версии: 1. Тип 13 № 552930 
Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на тангенс или котангенс
Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Замена переменной, Сведение к однородному, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Применив формулу приведения, используем основное тригонометрическое тождество, получим полный квадрат суммы:
б) Отберём корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). На заданном промежутке лежат корни: 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
552930
а) б)
б) Классификатор алгебры: Сравнение чисел, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на тангенс или котангенс
Методы алгебры: Выделение полного квадрата, Замена переменной, Сведение к однородному, Формулы приведения
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Таким образом, KLQP — квадрат со стороной 
и отрезок RT равен 
Таким образом, отрезки RS, PS и SQ равны друг другу и равны 
Из вышесказанного следует, что треугольник PRQ прямоугольный и угол PRQ прямой.
и равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 
то есть при 
Для этих значений переменной, используя формулу 
находим:
откуда, раскладывая на множители и применяя метод рационализации, получаем:
отсюда 
Выразим площадь четырехугольника BCON:
млн руб.
откуда 
млн руб.
первое уравнение исходной системы не имеет решений, а значит, и вся система не имеет решений. Поэтому умножение второго уравнения на 
не приводит к появлению посторонних корней. Следовательно, исходная система равносильна системе
и 
уравнение принимает вид 
то есть является уравнением окружности с центром в точке 
и радиусом 
Таким образом, при 
(см. ниже, рис. слева). Отражая построенную дугу относительно оси ординат, а затем обе полученные дуги относительно оси абсцисс, получаем график первого уравнения системы (см. ниже, рис. справа).
является пучок прямых, проходящих через точку 
Количество решений исходной системы совпадает с количеством точек пересечения графиков ее уравнений. Тем самым (см. рис.) исходная система может не иметь решений, либо иметь одно, два, три или четыре решения. 
если прямая 
если прямая 
или при 
если прямая проходит через точку 
(выделено зелёным), 
или 
если прямая 
не может касаться графика первого уравнения в третьей координатной четверти, поэтому другие случаи невозможны. Найдём соответствующие значения параметра. 
Найдём 
подставив координаты точки 
подставив координаты точки 
и 
найдём, воспользовавшись формулой расстояния от точки 
которое равно радиусу 
и 
или 
то количество его делителей равно 
Отметим, что 
Это число имеет 
делителей.
были бы кратны 4, а потому 
было бы произведением нечетных чисел и, следовательно, нечетным числом. Но 2020 четно.
подходит. Докажем, что это наименьшее подходящее число. Очевидно, если поменять местами два простых основания степени в разложении числа, то меньше будет тот вариант, где меньшее простое возводится в бОльшую степень. Затем заменим меньшее простое на 2, следующее — на 3 и так далее.
), то число будет равно как минимум 
Тогда остальные множители должны давать выражение, равное 20. Возможны следующие варианты: 
Последнее число меньше прочих:
оно имело бы минимум 2021 делитель (
) или было бы равно 1.